Номер 2, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 6.

Условие.

2 ДОКАЗЫВАЕМ Используя определение частного, докажите, что:

а) $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y;$

б) $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5;$

в) $\frac{3m^3 - 6m^2 - 3m}{m^2 - 2m - 1} = 3m;$

г) $\frac{4a^2 - 11a - 3}{a - 3} = 4a + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Согласно определению частного, для того чтобы доказать равенство $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y$, необходимо показать, что произведение делителя $(3x + 2y)$ на частное $(3x - 2y)$ равно делимому $(9x^2 - 4y^2)$.

Выполним умножение, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов" $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3x + 2y)(3x - 2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5$, необходимо показать, что произведение делителя $(2a - 5)$ на частное $(2a - 5)$ равно делимому $(4a^2 - 20a + 25)$.

Выполним умножение, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности" $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2a - 5)(2a - 5) = (2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Данное равенство можно записать в виде деления: $(3m^3 - 6m^2 - 3m) : (m^2 - 2m - 1) = 3m$. Чтобы доказать его, необходимо показать, что произведение делителя $(m^2 - 2m - 1)$ на частное $(3m)$ равно делимому $(3m^3 - 6m^2 - 3m)$.

Выполним умножение многочлена на одночлен:

$(m^2 - 2m - 1) \cdot 3m = m^2 \cdot 3m - 2m \cdot 3m - 1 \cdot 3m = 3m^3 - 6m^2 - 3m$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано (при условии, что делитель $m^2 - 2m - 1 \neq 0$).

Ответ: Равенство доказано.

г) Данное равенство можно записать в виде деления: $(4a^2 - 11a - 3) : (a - 3) = 4a + 1$. Чтобы доказать его, необходимо показать, что произведение делителя $(a - 3)$ на частное $(4a + 1)$ равно делимому $(4a^2 - 11a - 3)$.

Выполним умножение многочленов:

$(a - 3)(4a + 1) = a \cdot 4a + a \cdot 1 - 3 \cdot 4a - 3 \cdot 1 = 4a^2 + a - 12a - 3 = 4a^2 - 11a - 3$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано (при условии, что делитель $a - 3 \neq 0$).

Ответ: Равенство доказано.