Номер 3, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь выражение, которое делится на каждое из данных выражений:

а) $ab$, $bc$;

б) $x^2y$, $xy^2$, $xy$;

в) $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$;

г) $a+b$, $a-b$;

д) $(p+q)^2$, $2(p+q)$;

е) $m^2 - n^2$, $5(m-n)$.

а) Чтобы составить выражение, которое делится на $ab$ и $bc$, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого необходимо взять каждый уникальный множитель ($a$, $b$, $c$) в наивысшей степени, в которой он встречается, и перемножить их. В данном случае все множители в первой степени. Таким образом, искомое выражение — это произведение $a \cdot b \cdot c$.
Проверим: $\frac{abc}{ab} = c$; $\frac{abc}{bc} = a$. Деление выполняется без остатка.
Ответ: $abc$

б) Даны выражения $x^2y$, $xy^2$, $xy$. Чтобы найти выражение, которое делится на каждое из них, найдем их НОК. Для этого для каждой переменной ($x$ и $y$) выберем наибольшую степень из представленных выражений. Наибольшая степень для $x$ — это 2 (из $x^2y$). Наибольшая степень для $y$ — это 2 (из $xy^2$). Перемножив множители с их наибольшими степенями, получим $x^2y^2$.
Проверим: $\frac{x^2y^2}{x^2y} = y$; $\frac{x^2y^2}{xy^2} = x$; $\frac{x^2y^2}{xy} = xy$.
Ответ: $x^2y^2$

в) Даны выражения $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$. Найдем их НОК. Для этого для каждой переменной ($a$, $b$, $c$) возьмем наибольшую степень. Наибольшая степень для $a$ — 2 (из $a^2$). Наибольшая степень для $b$ — 2 (из $b^2$). Наибольшая степень для $c$ — 2 (из $c^2$). Таким образом, искомое выражение — $a^2b^2c^2$.
Проверим: $\frac{a^2b^2c^2}{a^2} = b^2c^2$; $\frac{a^2b^2c^2}{b^2} = a^2c^2$; $\frac{a^2b^2c^2}{c^2} = a^2b^2$; $\frac{a^2b^2c^2}{abc} = abc$.
Ответ: $a^2b^2c^2$

г) Даны выражения $a+b$ и $a-b$. Эти два выражения являются самостоятельными (неприводимыми) множителями. Чтобы найти выражение, которое делится на оба, нужно их перемножить. Получим $(a+b)(a-b)$. Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Проверим: $\frac{a^2-b^2}{a+b} = a-b$; $\frac{a^2-b^2}{a-b} = a+b$.
Ответ: $a^2-b^2$

д) Даны выражения $(p+q)^2$ и $2(p+q)$. Для нахождения НОК рассмотрим числовые коэффициенты и многочлены отдельно. НОК для коэффициентов 1 и 2 равно 2. Для многочлена $(p+q)$ нужно взять наибольшую степень, то есть 2. Объединив, получаем искомое выражение $2(p+q)^2$.
Проверим: $\frac{2(p+q)^2}{(p+q)^2} = 2$; $\frac{2(p+q)^2}{2(p+q)} = p+q$.
Ответ: $2(p+q)^2$

е) Даны выражения $m^2-n^2$ и $5(m-n)$. Сначала разложим первое выражение на множители по формуле разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$. Теперь у нас есть два выражения: $(m-n)(m+n)$ и $5(m-n)$. Чтобы найти их НОК, берем все уникальные множители в их наибольших степенях. Множители: 5, $(m-n)$ и $(m+n)$. Перемножив их, получим $5(m-n)(m+n)$, что можно записать как $5(m^2-n^2)$.
Проверим: $\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2} = 5$; $\frac{5(m-n)(m+n)}{5(m-n)} = m+n$.
Ответ: $5(m^2-n^2)$