Номер 3, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 6.

Условие.

3 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь выражение, которое делится на каждое из данных выражений:

а) $ab$, $bc$;

б) $x^2y$, $xy^2$, $xy$;

в) $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$;

г) $a+b$, $a-b$;

д) $(p+q)^2$, $2(p+q)$;

е) $m^2 - n^2$, $5(m-n)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы составить выражение, которое делится на `$ab$` и `$bc$`, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого необходимо взять каждый уникальный множитель (`$a$`, `$b$`, `$c$`) в наивысшей степени, в которой он встречается, и перемножить их. В данном случае все множители в первой степени. Таким образом, искомое выражение — это произведение `$a \cdot b \cdot c$`.
Проверим: `$\frac{abc}{ab} = c$`; `$\frac{abc}{bc} = a$`. Деление выполняется без остатка.
Ответ: `$abc$`

б) Даны выражения `$x^2y$`, `$xy^2$`, `$xy$`. Чтобы найти выражение, которое делится на каждое из них, найдем их НОК. Для этого для каждой переменной (`$x$` и `$y$`) выберем наибольшую степень из представленных выражений. Наибольшая степень для `$x$` — это 2 (из `$x^2y$`). Наибольшая степень для `$y$` — это 2 (из `$xy^2$`). Перемножив множители с их наибольшими степенями, получим `$x^2y^2$`.
Проверим: `$\frac{x^2y^2}{x^2y} = y$`; `$\frac{x^2y^2}{xy^2} = x$`; `$\frac{x^2y^2}{xy} = xy$`.
Ответ: `$x^2y^2$`

в) Даны выражения `$a^2$`, `$b^2$`, `$c^2$`, `$abc$`. Найдем их НОК. Для этого для каждой переменной (`$a$`, `$b$`, `$c$`) возьмем наибольшую степень. Наибольшая степень для `$a$` — 2 (из `$a^2$`). Наибольшая степень для `$b$` — 2 (из `$b^2$`). Наибольшая степень для `$c$` — 2 (из `$c^2$`). Таким образом, искомое выражение — `$a^2b^2c^2$`.
Проверим: `$\frac{a^2b^2c^2}{a^2} = b^2c^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{b^2} = a^2c^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{c^2} = a^2b^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{abc} = abc$`.
Ответ: `$a^2b^2c^2$`

г) Даны выражения `$a+b$` и `$a-b$`. Эти два выражения являются самостоятельными (неприводимыми) множителями. Чтобы найти выражение, которое делится на оба, нужно их перемножить. Получим `$(a+b)(a-b)$`. Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов: `$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$`.
Проверим: `$\frac{a^2-b^2}{a+b} = a-b$`; `$\frac{a^2-b^2}{a-b} = a+b$`.
Ответ: `$a^2-b^2$`

д) Даны выражения `$(p+q)^2$` и `$2(p+q)$`. Для нахождения НОК рассмотрим числовые коэффициенты и многочлены отдельно. НОК для коэффициентов 1 и 2 равно 2. Для многочлена `$(p+q)$` нужно взять наибольшую степень, то есть 2. Объединив, получаем искомое выражение `$2(p+q)^2$`.
Проверим: `$\frac{2(p+q)^2}{(p+q)^2} = 2$`; `$\frac{2(p+q)^2}{2(p+q)} = p+q$`.
Ответ: `$2(p+q)^2$`

е) Даны выражения `$m^2-n^2$` и `$5(m-n)$`. Сначала разложим первое выражение на множители по формуле разности квадратов: `$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$`. Теперь у нас есть два выражения: `$(m-n)(m+n)$` и `$5(m-n)$`. Чтобы найти их НОК, берем все уникальные множители в их наибольших степенях. Множители: 5, `$(m-n)$` и `$(m+n)$`. Перемножив их, получим `$5(m-n)(m+n)$`, что можно записать как `$5(m^2-n^2)$`.
Проверим: `$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2} = 5$`; `$\frac{5(m-n)(m+n)}{5(m-n)} = m+n$`.
Ответ: `$5(m^2-n^2)$`