Страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

Перепишите данное выражение, заменив знак : чертой дроби:

а) $\frac{4a}{8bc}$

б) $\frac{a+b}{2a-3c}$

в) $5c + \frac{3c}{2c+4}$

г) $\frac{2x+a}{2x} - a$

а)

В выражении $4a : (8bc)$ делимым является $4a$, а делителем — выражение в скобках $(8bc)$. Чтобы заменить знак деления (двоеточие) на черту дроби, мы помещаем делимое в числитель, а делитель — в знаменатель.

Таким образом, выражение $4a : (8bc)$ можно записать в виде дроби:

$\frac{4a}{8bc}$

Эту дробь можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий множитель 4:

$\frac{4a}{8bc} = \frac{4 \cdot a}{4 \cdot 2bc} = \frac{a}{2bc}$

Согласно заданию, требуется только переписать выражение.

Ответ: $\frac{4a}{8bc}$.

б)

В выражении $(a + b) : (2a - 3c)$ делимым является выражение в первых скобках $(a + b)$, а делителем — выражение во вторых скобках $(2a - 3c)$.

Заменяем знак деления на черту дроби. Числителем будет $(a + b)$, а знаменателем — $(2a - 3c)$.

Получаем следующую дробь:

$\frac{a+b}{2a-3c}$

Ответ: $\frac{a+b}{2a-3c}$.

в)

В выражении $5c + 3c : (2c + 4)$ два действия: сложение и деление. Согласно порядку выполнения арифметических операций, деление выполняется в первую очередь.

Рассмотрим часть выражения с делением: $3c : (2c + 4)$. Здесь делимое — это $3c$, а делитель — $(2c + 4)$.

Заменяя знак деления на черту дроби, получаем: $\frac{3c}{2c+4}$.

Теперь подставляем полученную дробь обратно в исходное выражение вместо операции деления.

$5c + \frac{3c}{2c+4}$

Ответ: $5c + \frac{3c}{2c+4}$.

г)

В выражении $(2x + a) : 2x - a$ присутствуют деление и вычитание. Деление выполняется первым.

Операция деления — это $(2x + a) : 2x$. Делимым является выражение в скобках $(2x + a)$, а делителем — $2x$. Обратите внимание, что вычитаемое $a$ не входит в состав делителя, так как оно не заключено в скобки с $2x$.

Заменяем знак деления на черту дроби: $\frac{2x+a}{2x}$.

Теперь записываем всё выражение целиком:

$\frac{2x+a}{2x} - a$

Ответ: $\frac{2x+a}{2x} - a$.

2 ДОКАЗЫВАЕМ Используя определение частного, докажите, что:

а) $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y;$

б) $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5;$

в) $\frac{3m^3 - 6m^2 - 3m}{m^2 - 2m - 1} = 3m;$

г) $\frac{4a^2 - 11a - 3}{a - 3} = 4a + 1.$

а) Согласно определению частного, для того чтобы доказать равенство $(9x^2 - 4y^2) : (3x + 2y) = 3x - 2y$, необходимо показать, что произведение делителя $(3x + 2y)$ на частное $(3x - 2y)$ равно делимому $(9x^2 - 4y^2)$.

Выполним умножение, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов" $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3x + 2y)(3x - 2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $(4a^2 - 20a + 25) : (2a - 5) = 2a - 5$, необходимо показать, что произведение делителя $(2a - 5)$ на частное $(2a - 5)$ равно делимому $(4a^2 - 20a + 25)$.

Выполним умножение, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности" $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2a - 5)(2a - 5) = (2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Данное равенство можно записать в виде деления: $(3m^3 - 6m^2 - 3m) : (m^2 - 2m - 1) = 3m$. Чтобы доказать его, необходимо показать, что произведение делителя $(m^2 - 2m - 1)$ на частное $(3m)$ равно делимому $(3m^3 - 6m^2 - 3m)$.

Выполним умножение многочлена на одночлен:

$(m^2 - 2m - 1) \cdot 3m = m^2 \cdot 3m - 2m \cdot 3m - 1 \cdot 3m = 3m^3 - 6m^2 - 3m$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано (при условии, что делитель $m^2 - 2m - 1 \neq 0$).

Ответ: Равенство доказано.

г) Данное равенство можно записать в виде деления: $(4a^2 - 11a - 3) : (a - 3) = 4a + 1$. Чтобы доказать его, необходимо показать, что произведение делителя $(a - 3)$ на частное $(4a + 1)$ равно делимому $(4a^2 - 11a - 3)$.

Выполним умножение многочленов:

$(a - 3)(4a + 1) = a \cdot 4a + a \cdot 1 - 3 \cdot 4a - 3 \cdot 1 = 4a^2 + a - 12a - 3 = 4a^2 - 11a - 3$

Так как произведение делителя и частного равно делимому, тождество доказано (при условии, что делитель $a - 3 \neq 0$).

Ответ: Равенство доказано.

3 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь выражение, которое делится на каждое из данных выражений:

а) $ab$, $bc$;

б) $x^2y$, $xy^2$, $xy$;

в) $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$;

г) $a+b$, $a-b$;

д) $(p+q)^2$, $2(p+q)$;

е) $m^2 - n^2$, $5(m-n)$.

а) Чтобы составить выражение, которое делится на `$ab$` и `$bc$`, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого необходимо взять каждый уникальный множитель (`$a$`, `$b$`, `$c$`) в наивысшей степени, в которой он встречается, и перемножить их. В данном случае все множители в первой степени. Таким образом, искомое выражение — это произведение `$a \cdot b \cdot c$`.
Проверим: `$\frac{abc}{ab} = c$`; `$\frac{abc}{bc} = a$`. Деление выполняется без остатка.
Ответ: `$abc$`

б) Даны выражения `$x^2y$`, `$xy^2$`, `$xy$`. Чтобы найти выражение, которое делится на каждое из них, найдем их НОК. Для этого для каждой переменной (`$x$` и `$y$`) выберем наибольшую степень из представленных выражений. Наибольшая степень для `$x$` — это 2 (из `$x^2y$`). Наибольшая степень для `$y$` — это 2 (из `$xy^2$`). Перемножив множители с их наибольшими степенями, получим `$x^2y^2$`.
Проверим: `$\frac{x^2y^2}{x^2y} = y$`; `$\frac{x^2y^2}{xy^2} = x$`; `$\frac{x^2y^2}{xy} = xy$`.
Ответ: `$x^2y^2$`

в) Даны выражения `$a^2$`, `$b^2$`, `$c^2$`, `$abc$`. Найдем их НОК. Для этого для каждой переменной (`$a$`, `$b$`, `$c$`) возьмем наибольшую степень. Наибольшая степень для `$a$` — 2 (из `$a^2$`). Наибольшая степень для `$b$` — 2 (из `$b^2$`). Наибольшая степень для `$c$` — 2 (из `$c^2$`). Таким образом, искомое выражение — `$a^2b^2c^2$`.
Проверим: `$\frac{a^2b^2c^2}{a^2} = b^2c^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{b^2} = a^2c^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{c^2} = a^2b^2$`; `$\frac{a^2b^2c^2}{abc} = abc$`.
Ответ: `$a^2b^2c^2$`

г) Даны выражения `$a+b$` и `$a-b$`. Эти два выражения являются самостоятельными (неприводимыми) множителями. Чтобы найти выражение, которое делится на оба, нужно их перемножить. Получим `$(a+b)(a-b)$`. Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов: `$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$`.
Проверим: `$\frac{a^2-b^2}{a+b} = a-b$`; `$\frac{a^2-b^2}{a-b} = a+b$`.
Ответ: `$a^2-b^2$`

д) Даны выражения `$(p+q)^2$` и `$2(p+q)$`. Для нахождения НОК рассмотрим числовые коэффициенты и многочлены отдельно. НОК для коэффициентов 1 и 2 равно 2. Для многочлена `$(p+q)$` нужно взять наибольшую степень, то есть 2. Объединив, получаем искомое выражение `$2(p+q)^2$`.
Проверим: `$\frac{2(p+q)^2}{(p+q)^2} = 2$`; `$\frac{2(p+q)^2}{2(p+q)} = p+q$`.
Ответ: `$2(p+q)^2$`

е) Даны выражения `$m^2-n^2$` и `$5(m-n)$`. Сначала разложим первое выражение на множители по формуле разности квадратов: `$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$`. Теперь у нас есть два выражения: `$(m-n)(m+n)$` и `$5(m-n)$`. Чтобы найти их НОК, берем все уникальные множители в их наибольших степенях. Множители: 5, `$(m-n)$` и `$(m+n)$`. Перемножив их, получим `$5(m-n)(m+n)$`, что можно записать как `$5(m^2-n^2)$`.
Проверим: `$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2} = 5$`; `$\frac{5(m-n)(m+n)}{5(m-n)} = m+n$`.
Ответ: `$5(m^2-n^2)$`

4 Найдите значение дроби при указанных значениях переменных:

а) $\frac{a+b}{a-b}$ при $a=-0,7$, $b=1,7$;

б) $\frac{mn}{m-n}$ при $m=\frac{1}{2}$, $n=\frac{1}{3}$;

в) $\frac{3x+2y}{x-y}$ при $x=-0,4$, $y=0,6$;

г) $\frac{a^2+b^2}{ab}$ при $a=-2$, $b=5$.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{a+b}{a-b}$ при $a = -0,7$ и $b = 1,7$, подставим эти значения в выражение.

Сначала вычислим значение числителя:

$a + b = -0,7 + 1,7 = 1$

Затем вычислим значение знаменателя:

$a - b = -0,7 - 1,7 = -2,4$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1}{-2,4} = -\frac{1}{2,4} = -\frac{10}{24} = -\frac{5}{12}$

Ответ: $-\frac{5}{12}$

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{mn}{m-n}$ при $m = \frac{1}{2}$ и $n = \frac{1}{3}$, подставим эти значения в выражение.

Вычислим значение числителя:

$mn = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Вычислим значение знаменателя, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$m - n = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{1} = 1$

Ответ: $1$

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{3x+2y}{x-y}$ при $x = -0,4$ и $y = 0,6$, подставим эти значения в выражение.

Вычислим значение числителя:

$3x + 2y = 3 \cdot (-0,4) + 2 \cdot 0,6 = -1,2 + 1,2 = 0$

Вычислим значение знаменателя:

$x - y = -0,4 - 0,6 = -1$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $0$

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{a^2+b^2}{ab}$ при $a = -2$ и $b = 5$, подставим эти значения в выражение.

Вычислим значение числителя:

$a^2 + b^2 = (-2)^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$

Вычислим значение знаменателя:

$ab = (-2) \cdot 5 = -10$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{29}{-10} = -2,9$

Ответ: $-2,9$

5 Подберите значения $a$, при которых значение выражения $\frac{1}{a}$ является:

а) дробным числом;

б) целым числом;

в) положительным дробным числом, меньшим 1;

г) дробным числом, большим 1;

д) отрицательным целым числом, меньшим $-100$.

а) Чтобы значение выражения $\frac{1}{a}$ было дробным числом (то есть нецелым), знаменатель $a$ не должен быть равен $0, 1, -1$. Также $a$ не должно быть числом, обратным любому другому целому числу. Если $a$ является обратным к целому числу $k$ (т.е. $a = \frac{1}{k}$), то значение выражения $\frac{1}{a}$ будет равно $k$, что является целым числом. Поэтому для получения дробного числа нужно выбрать $a$, не являющееся обратным к целому.
Проще всего выбрать в качестве $a$ любое целое число, отличное от $0, 1, -1$.
Например, пусть $a = 2$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$. Это дробное число.
Пусть $a = -5$. Тогда $\frac{1}{a} = -\frac{1}{5}$. Это дробное число.
Можно также взять дробное $a$, например, $a = 1,5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$. Это дробное число.
Ответ: например, $a = 2; -5; 1,5$.

б) Чтобы значение выражения $\frac{1}{a}$ было целым числом, $a$ должно быть числом, обратным некоторому целому числу $k$ (где $k \ne 0$). То есть должно выполняться условие $a = \frac{1}{k}$.
Например, если мы хотим, чтобы $\frac{1}{a} = 3$ (целое число), то $a$ должно быть равно $\frac{1}{3}$.
Если мы хотим, чтобы $\frac{1}{a} = -10$ (целое число), то $a = \frac{1}{-10} = -0,1$.
Если $\frac{1}{a} = 1$, то $a = 1$.
Если $\frac{1}{a} = -1$, то $a = -1$.
Ответ: например, $a = 1; -1; \frac{1}{3}; -0,1$.

в) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть положительным дробным числом, меньшим 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \frac{1}{a} < 1$.
Из левой части неравенства, $\frac{1}{a} > 0$, следует, что $a$ должно быть положительным числом ($a > 0$).
Из правой части неравенства, $\frac{1}{a} < 1$, умножив обе части на положительное число $a$, получаем $1 < a$.
Таким образом, $a$ должно быть любым числом, большим 1. Если $a > 1$, то значение $\frac{1}{a}$ всегда будет находиться в интервале $(0, 1)$, а значит, оно гарантированно будет положительным дробным числом, меньшим 1.
Например, пусть $a = 5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{5} = 0,2$. Это число удовлетворяет условию: $0 < 0,2 < 1$.
Пусть $a = 2,5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2,5} = 0,4$. Это число также удовлетворяет условию: $0 < 0,4 < 1$.
Ответ: любое число $a > 1$, например, $a = 5; 2,5; 100$.

г) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть дробным числом, большим 1. Это означает, что $\frac{1}{a} > 1$ и $\frac{1}{a}$ не является целым числом.
Рассмотрим неравенство $\frac{1}{a} > 1$. Так как правая часть положительна, то и левая должна быть положительной, откуда следует, что $a > 0$. Умножив обе части неравенства на положительное число $a$, получим $1 > a$.
Итак, мы имеем условие $0 < a < 1$.
Теперь учтем, что $\frac{1}{a}$ не должно быть целым числом. Если выбрать $a$ так, что оно является обратным к целому числу (например, $a = \frac{1}{2}$ или $a = \frac{1}{3}$), то $\frac{1}{a}$ будет целым числом ($2$ или $3$). Такие значения $a$ нам не подходят.
Следовательно, нужно выбрать такое $a$ из интервала $(0, 1)$, которое не является обратным к целому числу.
Например, пусть $a = \frac{3}{4}$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{4}{3} \approx 1,33$. Это дробное число, большее 1.
Пусть $a = 0,21$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{0,21} = \frac{100}{21} \approx 4,76$. Это дробное число, большее 1.
Ответ: любое число $a$ из интервала $(0, 1)$, не являющееся обратным к целому числу. Например, $a = \frac{3}{4}; 0,21; 0,9$.

д) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть отрицательным целым числом, меньшим $-100$.
Обозначим значение выражения $\frac{1}{a}$ как $k$. По условию, $k$ — целое число и $k < -100$.
Это значит, что $k$ может быть равно $-101, -102, -250$ и т.д.
Из равенства $\frac{1}{a} = k$ выразим $a$: $a = \frac{1}{k}$.
Теперь подберем значения. Если мы выберем $k = -101$, то $a = \frac{1}{-101} = -\frac{1}{101}$. Проверим: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1/101} = -101$. Это отрицательное целое число, и $-101 < -100$. Условие выполнено.
Если мы выберем $k = -400$, то $a = \frac{1}{-400} = -\frac{1}{400}$. Проверим: $\frac{1}{a} = -400$. Это отрицательное целое число, и $-400 < -100$. Условие выполнено.
Таким образом, $a$ должно быть числом вида $-\frac{1}{n}$, где $n$ — любое целое число, большее 100.
Ответ: например, $a = -\frac{1}{101}; -\frac{1}{400}; -\frac{1}{2000}$.

6 Известно, что $x + y = 1$ и $x - y = \frac{2}{3}$. Найдите значение выражения:

а) $\frac{x + y}{x - y}$

б) $\frac{y - x}{x + y}$

в) $\frac{(x + y)^2}{(x - y)^2}$

г) $\frac{(y - x)^2}{x + y}$

По условию задачи нам даны два равенства: $x + y = 1$ и $x - y = \frac{2}{3}$. Будем использовать эти значения для нахождения значений выражений, подставляя их напрямую.

а) Для выражения $\frac{x+y}{x-y}$ подставляем известные значения в числитель и знаменатель:

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Для выражения $\frac{y-x}{x+y}$ сначала преобразуем числитель. Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Так как $x-y = \frac{2}{3}$, то $y-x = -\frac{2}{3}$.

Теперь подставим значения в выражение:

$\frac{y-x}{x+y} = \frac{-\frac{2}{3}}{1} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

в) Для выражения $\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}$ подставим известные значения и возведем их в квадрат:

$\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} = \frac{1^2}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = 1 \div \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

г) Для выражения $\frac{(y-x)^2}{x+y}$ преобразуем числитель. Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$.

Следовательно, $(y-x)^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

Теперь подставим значения в выражение:

$\frac{(y-x)^2}{x+y} = \frac{\frac{4}{9}}{1} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.