Страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

20 Дополните равенства:

a) $\frac{5}{a} = \frac{\quad}{2a} = \frac{\quad}{a^2} = \frac{5c}{\quad} = \frac{5(a+b)}{\quad};$

б) $\frac{x-y}{x+y} = \frac{\quad}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^2}{\quad} = \frac{\quad}{ax+ay}.$

а) Для того чтобы дополнить равенства, будем использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится. Исходная дробь — $ \frac{5}{a} $.

1. Чтобы из знаменателя $ a $ получить $ 2a $, его нужно умножить на 2. Следовательно, и числитель 5 нужно умножить на 2: $ \frac{5 \cdot 2}{a \cdot 2} = \frac{10}{2a} $.

2. Чтобы из знаменателя $ a $ получить $ a^2 $, его нужно умножить на $ a $. Следовательно, и числитель 5 нужно умножить на $ a $: $ \frac{5 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{5a}{a^2} $.

3. Чтобы из числителя 5 получить $ 5c $, его нужно умножить на $ c $. Следовательно, и знаменатель $ a $ нужно умножить на $ c $: $ \frac{5 \cdot c}{a \cdot c} = \frac{5c}{ac} $.

4. Чтобы из числителя 5 получить $ 5(a+b) $, его нужно умножить на $ (a+b) $. Следовательно, и знаменатель $ a $ нужно умножить на $ (a+b) $: $ \frac{5 \cdot (a+b)}{a \cdot (a+b)} = \frac{5(a+b)}{a(a+b)} $.

В результате получаем следующую цепочку равенств:
$ \frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = \frac{5c}{ac} = \frac{5(a+b)}{a(a+b)} $.

Ответ: $ \frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = \frac{5c}{ac} = \frac{5(a+b)}{a(a+b)} $.

б) Аналогично поступаем с дробью $ \frac{x-y}{x+y} $.

1. Знаменатель $ (x+y) $ был умножен на $ (x+y) $, чтобы получить $ (x+y)^2 $. Следовательно, числитель $ (x-y) $ также нужно умножить на $ (x+y) $. Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $, получаем: $ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2} $.

2. Числитель $ (x-y) $ был умножен на $ (x-y) $, чтобы получить $ (x-y)^2 $. Следовательно, знаменатель $ (x+y) $ также нужно умножить на $ (x-y) $: $ \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} $.

3. Знаменатель $ ax+ay $ можно представить в виде $ a(x+y) $. Это значит, что исходный знаменатель $ (x+y) $ был умножен на $ a $. Умножаем на $ a $ и числитель: $ \frac{a(x-y)}{a(x+y)} = \frac{ax-ay}{ax+ay} $.

4. Числитель $ x^2-xy $ можно представить в виде $ x(x-y) $. Это значит, что исходный числитель $ (x-y) $ был умножен на $ x $. Умножаем на $ x $ и знаменатель: $ \frac{x(x-y)}{x(x+y)} = \frac{x^2-xy}{x^2+xy} $.

В результате получаем следующую цепочку равенств:
$ \frac{x-y}{x+y} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{ax-ay}{ax+ay} = \frac{x^2-xy}{x^2+xy} $.

Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{ax-ay}{ax+ay} = \frac{x^2-xy}{x^2+xy} $.