Страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

7 Найдите допустимые значения переменной для дроби:

а) $frac{c}{c+2}$;

Б) $frac{x-1}{x-2}$;

В) $frac{n^2-1}{n}$;

Г) $frac{y-4}{3y}$;

Д) $frac{x-7}{2x+8}$;

е) $frac{a^2-1}{15}$;

Ж) $frac{2a-3}{a^2}$;

З) $frac{x^2}{x^2+3}$.

Допустимые значения переменной для дроби — это все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

а) Для дроби $\frac{c}{c+2}$ знаменатель равен $c+2$.

Найдем значение $c$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$c+2 = 0$

$c = -2$

Таким образом, переменная $c$ может принимать любые значения, кроме $-2$.

Ответ: $c \neq -2$.

б) Для дроби $\frac{x-1}{x-2}$ знаменатель равен $x-2$.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение:

$x-2 = 0$

$x = 2$

Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме $2$.

Ответ: $x \neq 2$.

в) Для дроби $\frac{n^2-1}{n}$ знаменатель равен $n$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $n \neq 0$.

Допустимыми являются все значения $n$, кроме $0$.

Ответ: $n \neq 0$.

г) Для дроби $\frac{y-4}{3y}$ знаменатель равен $3y$.

Найдем значение $y$, при котором знаменатель равен нулю:

$3y = 0$

$y = 0$

Следовательно, допустимыми являются все значения $y$, кроме $0$.

Ответ: $y \neq 0$.

д) Для дроби $\frac{x-7}{2x+8}$ знаменатель равен $2x+8$.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$2x+8 = 0$

$2x = -8$

$x = -4$

Таким образом, допустимыми являются все значения $x$, кроме $-4$.

Ответ: $x \neq -4$.

е) Для дроби $\frac{a^2-1}{15}$ знаменатель равен $15$.

Знаменатель является постоянным числом и не равен нулю. Он не зависит от переменной $a$.

Следовательно, дробь имеет смысл при любых значениях переменной $a$.

Ответ: $a$ - любое число.

ж) Для дроби $\frac{2a-3}{a^2}$ знаменатель равен $a^2$.

Найдем значение $a$, при котором знаменатель равен нулю:

$a^2 = 0$

$a = 0$

Таким образом, допустимыми являются все значения $a$, кроме $0$.

Ответ: $a \neq 0$.

з) Для дроби $\frac{x^2}{x^2+3}$ знаменатель равен $x^2+3$.

Выражение $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$.

Тогда выражение $x^2+3$ всегда будет больше или равно $3$ ($x^2+3 \ge 3$).

Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю.

Следовательно, дробь имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

8 Иcпользуя данные выражения, составьте две дроби и найдите допустимые значения переменной для каждой из них:

а) $p^2 + 1$ и $p+1$;

б) $(c+1)^2$ и $c^2 + 1$.

а)

Из выражений $p^2 + 1$ и $p + 1$ можно составить две дроби. Найдем допустимые значения переменной для каждой из них.

1. Первая дробь: $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$

Допустимые значения переменной (область определения) для дроби определяются условием, что ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $p + 1$.

Найдем значения $p$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$p + 1 = 0$

$p = -1$

Следовательно, чтобы дробь имела смысл, необходимо исключить это значение. Допустимые значения для переменной $p$ — это все числа, кроме $-1$.

2. Вторая дробь: $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$

Знаменатель этой дроби равен $p^2 + 1$. Найдем значения $p$, при которых он равен нулю:

$p^2 + 1 = 0$

$p^2 = -1$

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа ($p^2$) всегда неотрицателен ($p^2 \ge 0$). Поэтому выражение $p^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1, и никогда не обратится в ноль.

Следовательно, дробь определена при любых значениях $p$.

Ответ: для дроби $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$ допустимые значения $p \neq -1$; для дроби $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$ допустимы любые действительные значения $p$.

б)

Из выражений $(c + 1)^2$ и $c^2 + 1$ можно составить две дроби. Найдем допустимые значения переменной для каждой из них.

1. Первая дробь: $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$

Знаменатель дроби равен $c^2 + 1$. Как и в пункте а), выражение $c^2 + 1$ не может быть равно нулю, так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного числа $c$, а значит $c^2 + 1 \ge 1$.

Знаменатель никогда не обращается в ноль, поэтому дробь определена при любых значениях $c$.

2. Вторая дробь: $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$

Знаменатель этой дроби равен $(c + 1)^2$. Найдем значения $c$, при которых он равен нулю:

$(c + 1)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$c + 1 = 0$

$c = -1$

Чтобы дробь имела смысл, необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $c \neq -1$.

Ответ: для дроби $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$ допустимы любые действительные значения $c$; для дроби $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$ допустимые значения $c \neq -1$.

9 Для каждого выражения из верхнего ряда укажите множество допустимых значений переменной, выбрав их из нижнего ряда:

1) $ \frac{x-1}{(x-2)(x-3)} $

2) $ \frac{(x-2)(x-3)}{x-1} $

3) $ \frac{x^2}{x^2+1} $

4) $ \frac{x^2+1}{x^2} $

А) $ x \ne 0 $

Б) $ x \ne 1 $

В) $ x \ne 2; x \ne 3 $

Г) $ x $ – любое число

1) Множество допустимых значений для выражения $\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения: $(x-2)(x-3) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, $x-2 = 0$ или $x-3 = 0$. Отсюда получаем $x=2$ и $x=3$. Следовательно, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме 2 и 3. Это соответствует варианту В.
Ответ: В

2) Для выражения $\frac{(x-2)(x-3)}{x-1}$ знаменатель $x-1$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $x-1 = 0$, чтобы найти недопустимое значение. Корень уравнения $x=1$. Следовательно, множество допустимых значений переменной — это все числа, кроме 1. Это соответствует варианту Б.
Ответ: Б

3) В выражении $\frac{x^2}{x^2+1}$ знаменатель равен $x^2+1$. Чтобы найти недопустимые значения, решим уравнение $x^2+1 = 0$. Это уравнение равносильно $x^2 = -1$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, переменная $x$ может быть любым числом. Это соответствует варианту Г.
Ответ: Г

4) Для выражения $\frac{x^2+1}{x^2}$ знаменатель $x^2$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $x^2 = 0$, чтобы найти недопустимое значение. Корень этого уравнения $x=0$. Следовательно, множество допустимых значений переменной — это все числа, кроме 0. Это соответствует варианту А.
Ответ: А

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (10–11)

10 а) Из формулы скорости равноускоренного движения $v = v_0 + at$, где $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время движения, выразите $a$ и $t$.

б) Из формулы пути равномерного движения $s = s_0 + vt$, где $s_0$ — начальное расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время движения, выразите $v$ и $t$.

а) Исходная формула скорости равноускоренного движения: $v = v_0 + at$.

Чтобы выразить ускорение $a$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования. Сначала изолируем слагаемое, содержащее $a$, для чего вычтем из обеих частей уравнения начальную скорость $v_0$:

$v - v_0 = at$

Теперь, чтобы найти $a$, разделим обе части получившегося уравнения на время $t$ (при условии, что $t \neq 0$):

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Чтобы выразить время $t$, вернемся к уравнению $v - v_0 = at$ и разделим обе его части на ускорение $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Ответ: $a = \frac{v - v_0}{t}$ и $t = \frac{v - v_0}{a}$.

б) Исходная формула пути равномерного движения: $s = s_0 + vt$.

Чтобы выразить скорость $v$, сначала вычтем из обеих частей уравнения начальное расстояние $s_0$, чтобы изолировать слагаемое $vt$:

$s - s_0 = vt$

Далее, чтобы найти $v$, разделим обе части этого равенства на время $t$ (при условии, что $t \neq 0$):

$v = \frac{s - s_0}{t}$

Чтобы выразить время $t$, используем преобразованное уравнение $s - s_0 = vt$ и разделим обе его части на скорость $v$ (при условии, что $v \neq 0$):

$t = \frac{s - s_0}{v}$

Ответ: $v = \frac{s - s_0}{t}$ и $t = \frac{s - s_0}{v}$.

11 Составьте выражение по условию задачи:

а) Сколько времени потребуется, чтобы проплыть на моторной лодке $s$ км по течению реки, если собственная скорость лодки $v$ км/ч, скорость течения реки $u$ км/ч? Найдите это время, если $s = 30$, $v = 10$, $u = 2$;

$s = 32$, $v = 15$, $u = 1$.

б) Какое время потребуется катеру, чтобы проплыть $s$ км против течения реки и вернуться обратно, если его собственная скорость $v$ км/ч, а скорость течения реки $u$ км/ч? Найдите это время, если $s = 30$, $v = 22$, $u = 2$.

в) Пловец проплыл $l$ м по течению реки за $t$ мин. Чему равна собственная скорость пловца, если скорость течения реки $u$ м/мин? Найдите скорость пловца, если $l = 300$, $t = 5$, $u = 20$.

а)

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. При движении по течению реки скорость лодки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки.

Обозначим:

• $s$ - расстояние (км)
• $v$ - собственная скорость лодки (км/ч)
• $u$ - скорость течения реки (км/ч)
• $t$ - время (ч)

Скорость по течению: $v_{по\_теч} = v + u$.

Выражение для нахождения времени: $t = \frac{s}{v + u}$.

Найдем время для заданных значений:

1. Если $s = 30$ км, $v = 10$ км/ч, $u = 2$ км/ч:

$t = \frac{30}{10 + 2} = \frac{30}{12} = 2.5$ ч.

2. Если $s = 32$ км, $v = 15$ км/ч, $u = 1$ км/ч:

$t = \frac{32}{15 + 1} = \frac{32}{16} = 2$ ч.

Ответ: Выражение для нахождения времени: $t = \frac{s}{v + u}$. При $s = 30, v = 10, u = 2$ время равно $2.5$ ч. При $s = 32, v = 15, u = 1$ время равно $2$ ч.

б)

Общее время складывается из времени движения против течения и времени движения по течению (обратно).

Скорость против течения: $v_{против\_теч} = v - u$.

Время движения против течения: $t_{против\_теч} = \frac{s}{v - u}$.

Скорость по течению: $v_{по\_теч} = v + u$.

Время движения по течению (обратно): $t_{по\_теч} = \frac{s}{v + u}$.

Общее время $T$ равно сумме времени туда и обратно. Выражение для нахождения общего времени: $T = t_{против\_теч} + t_{по\_теч} = \frac{s}{v - u} + \frac{s}{v + u}$.

Найдем это время, если $s = 30$ км, $v = 22$ км/ч, $u = 2$ км/ч:

Время против течения: $t_{против\_теч} = \frac{30}{22 - 2} = \frac{30}{20} = 1.5$ ч.

Время по течению: $t_{по\_теч} = \frac{30}{22 + 2} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4} = 1.25$ ч.

Общее время: $T = 1.5 + 1.25 = 2.75$ ч.

Ответ: Выражение для нахождения времени: $T = \frac{s}{v - u} + \frac{s}{v + u}$. При заданных значениях время равно $2.75$ ч.

в)

Сначала найдем скорость пловца по течению реки, разделив расстояние на время.

Обозначим:

• $l$ - расстояние (м)
• $t$ - время (мин)
• $u$ - скорость течения (м/мин)
• $v_{собств}$ - собственная скорость пловца (м/мин)

Скорость по течению: $v_{по\_теч} = \frac{l}{t}$.

Скорость по течению также равна сумме собственной скорости пловца и скорости течения: $v_{по\_теч} = v_{собств} + u$.

Приравнивая два выражения для скорости по течению, получаем: $v_{собств} + u = \frac{l}{t}$.

Отсюда выражаем собственную скорость пловца: $v_{собств} = \frac{l}{t} - u$.

Найдем скорость пловца, если $l = 300$ м, $t = 5$ мин, $u = 20$ м/мин:

$v_{собств} = \frac{300}{5} - 20 = 60 - 20 = 40$ м/мин.

Ответ: Выражение для нахождения собственной скорости пловца: $v_{собств} = \frac{l}{t} - u$. При заданных значениях скорость пловца равна $40$ м/мин.