Номер 5, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.1. Что такое алгебраическая дробь - номер 5, страница 6.

Условие.

5 Подберите значения $a$, при которых значение выражения $\frac{1}{a}$ является:

а) дробным числом;

б) целым числом;

в) положительным дробным числом, меньшим 1;

г) дробным числом, большим 1;

д) отрицательным целым числом, меньшим $-100$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы значение выражения $\frac{1}{a}$ было дробным числом (то есть нецелым), знаменатель $a$ не должен быть равен $0, 1, -1$. Также $a$ не должно быть числом, обратным любому другому целому числу. Если $a$ является обратным к целому числу $k$ (т.е. $a = \frac{1}{k}$), то значение выражения $\frac{1}{a}$ будет равно $k$, что является целым числом. Поэтому для получения дробного числа нужно выбрать $a$, не являющееся обратным к целому.
Проще всего выбрать в качестве $a$ любое целое число, отличное от $0, 1, -1$.
Например, пусть $a = 2$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$. Это дробное число.
Пусть $a = -5$. Тогда $\frac{1}{a} = -\frac{1}{5}$. Это дробное число.
Можно также взять дробное $a$, например, $a = 1,5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$. Это дробное число.
Ответ: например, $a = 2; -5; 1,5$.

б) Чтобы значение выражения $\frac{1}{a}$ было целым числом, $a$ должно быть числом, обратным некоторому целому числу $k$ (где $k \ne 0$). То есть должно выполняться условие $a = \frac{1}{k}$.
Например, если мы хотим, чтобы $\frac{1}{a} = 3$ (целое число), то $a$ должно быть равно $\frac{1}{3}$.
Если мы хотим, чтобы $\frac{1}{a} = -10$ (целое число), то $a = \frac{1}{-10} = -0,1$.
Если $\frac{1}{a} = 1$, то $a = 1$.
Если $\frac{1}{a} = -1$, то $a = -1$.
Ответ: например, $a = 1; -1; \frac{1}{3}; -0,1$.

в) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть положительным дробным числом, меньшим 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \frac{1}{a} < 1$.
Из левой части неравенства, $\frac{1}{a} > 0$, следует, что $a$ должно быть положительным числом ($a > 0$).
Из правой части неравенства, $\frac{1}{a} < 1$, умножив обе части на положительное число $a$, получаем $1 < a$.
Таким образом, $a$ должно быть любым числом, большим 1. Если $a > 1$, то значение $\frac{1}{a}$ всегда будет находиться в интервале $(0, 1)$, а значит, оно гарантированно будет положительным дробным числом, меньшим 1.
Например, пусть $a = 5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{5} = 0,2$. Это число удовлетворяет условию: $0 < 0,2 < 1$.
Пусть $a = 2,5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2,5} = 0,4$. Это число также удовлетворяет условию: $0 < 0,4 < 1$.
Ответ: любое число $a > 1$, например, $a = 5; 2,5; 100$.

г) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть дробным числом, большим 1. Это означает, что $\frac{1}{a} > 1$ и $\frac{1}{a}$ не является целым числом.
Рассмотрим неравенство $\frac{1}{a} > 1$. Так как правая часть положительна, то и левая должна быть положительной, откуда следует, что $a > 0$. Умножив обе части неравенства на положительное число $a$, получим $1 > a$.
Итак, мы имеем условие $0 < a < 1$.
Теперь учтем, что $\frac{1}{a}$ не должно быть целым числом. Если выбрать $a$ так, что оно является обратным к целому числу (например, $a = \frac{1}{2}$ или $a = \frac{1}{3}$), то $\frac{1}{a}$ будет целым числом ($2$ или $3$). Такие значения $a$ нам не подходят.
Следовательно, нужно выбрать такое $a$ из интервала $(0, 1)$, которое не является обратным к целому числу.
Например, пусть $a = \frac{3}{4}$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{4}{3} \approx 1,33$. Это дробное число, большее 1.
Пусть $a = 0,21$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{0,21} = \frac{100}{21} \approx 4,76$. Это дробное число, большее 1.
Ответ: любое число $a$ из интервала $(0, 1)$, не являющееся обратным к целому числу. Например, $a = \frac{3}{4}; 0,21; 0,9$.

д) Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно быть отрицательным целым числом, меньшим $-100$.
Обозначим значение выражения $\frac{1}{a}$ как $k$. По условию, $k$ — целое число и $k < -100$.
Это значит, что $k$ может быть равно $-101, -102, -250$ и т.д.
Из равенства $\frac{1}{a} = k$ выразим $a$: $a = \frac{1}{k}$.
Теперь подберем значения. Если мы выберем $k = -101$, то $a = \frac{1}{-101} = -\frac{1}{101}$. Проверим: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1/101} = -101$. Это отрицательное целое число, и $-101 < -100$. Условие выполнено.
Если мы выберем $k = -400$, то $a = \frac{1}{-400} = -\frac{1}{400}$. Проверим: $\frac{1}{a} = -400$. Это отрицательное целое число, и $-400 < -100$. Условие выполнено.
Таким образом, $a$ должно быть числом вида $-\frac{1}{n}$, где $n$ — любое целое число, большее 100.
Ответ: например, $a = -\frac{1}{101}; -\frac{1}{400}; -\frac{1}{2000}$.