Номер 12, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 12, страница 8.

Условие.

12 Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:

а) $ \frac{x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2}{x + y} $ при $ x = 0,3 $ и $ y = 0,5; $

б) $ \frac{m - 4}{(m + n)^2 - (m - n)^2} $ при $ m = \frac{2}{3} $ и $ n = -\frac{3}{4}; $

В) $ \frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b} $ при $ a = 0,74 $ и $ b = -0,26; $

Г) $ \frac{cd}{2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2} $ при $ c = -1 $ и $ d = 11. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Сначала упростим выражение $\frac{x^2 - xy + y^2 - (x-y)^2}{x+y}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 - xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(x^2 - x^2) + (-xy + 2xy) + (y^2 - y^2) = xy$.

Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{xy}{x+y}$.

Теперь подставим заданные значения $x = 0,3$ и $y = 0,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{0,3 \cdot 0,5}{0,3 + 0,5} = \frac{0,15}{0,8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.

б)

Сначала упростим выражение $\frac{m-4}{(m+n)^2 - (m-n)^2}$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(m+n)^2 - (m-n)^2 = ((m+n)-(m-n))((m+n)+(m-n)) = (m+n-m+n)(m+n+m-n) = (2n)(2m) = 4mn$.

Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{m-4}{4mn}$.

Теперь подставим заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$ в упрощенное выражение:
$\frac{\frac{2}{3}-4}{4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{4})} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{12}{3}}{\frac{4 \cdot 2 \cdot (-3)}{3 \cdot 4}} = \frac{-\frac{10}{3}}{-2} = (-\frac{10}{3}) \div (-2) = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

в)

Сначала упростим выражение $\frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b}$.

Преобразуем числитель. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{(a-b)^2}{a+b}$.

Теперь подставим заданные значения $a = 0,74$ и $b = -0,26$. Сначала вычислим значения $a-b$ и $a+b$:
$a-b = 0,74 - (-0,26) = 0,74 + 0,26 = 1$.
$a+b = 0,74 + (-0,26) = 0,74 - 0,26 = 0,48$.

Подставляем эти значения в дробь:
$\frac{1^2}{0,48} = \frac{1}{0,48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12}$.

Ответ: $\frac{25}{12}$.

г)

Сначала упростим выражение $\frac{cd}{2(c-d)(c+d) - (c-d)^2 + 4d^2}$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2-d^2$ и формулу квадрата разности $(c-d)^2 = c^2-2cd+d^2$:
$2(c^2-d^2) - (c^2-2cd+d^2) + 4d^2 = 2c^2 - 2d^2 - c^2 + 2cd - d^2 + 4d^2$.

Приведем подобные слагаемые в знаменателе:
$(2c^2 - c^2) + 2cd + (-2d^2 - d^2 + 4d^2) = c^2 + 2cd + d^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы $(c+d)^2$.
Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{cd}{(c+d)^2}$.

Теперь подставим заданные значения $c = -1$ и $d = 11$ в упрощенное выражение:
$\frac{(-1) \cdot 11}{(-1 + 11)^2} = \frac{-11}{10^2} = \frac{-11}{100} = -0,11$.

Ответ: $-0,11$.