Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Приведите дроби к общему знаменателю и выполните сложение или вычитание; в качестве образца используйте пример 2 из текста (49–50).

49 а) $\frac{2m}{5} + \frac{3m}{2}$;

б) $\frac{2}{a} - \frac{7}{b}$;

В) $\frac{x}{ab} - \frac{x}{c}$;

Г) $\frac{c}{ab} + \frac{a}{cd}$;

Д) $\frac{a}{b} + \frac{c}{10}$;

е) $\frac{b}{a^2} - \frac{a}{b^2}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{2m}{5}$ и $\frac{3m}{2}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 5 и 2 является их произведение, то есть $5 \cdot 2 = 10$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби ($\frac{2m}{5}$): $10 \div 5 = 2$.
Для второй дроби ($\frac{3m}{2}$): $10 \div 2 = 5$.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:
$\frac{2m}{5} + \frac{3m}{2} = \frac{2m \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{3m \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{4m}{10} + \frac{15m}{10} = \frac{4m + 15m}{10} = \frac{19m}{10}$.
Ответ: $\frac{19m}{10}$.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2}{a}$ и $\frac{7}{b}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a$ и $b$ - это их произведение $ab$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ab \div a = b$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ab \div b = a$.
Выполним преобразование и вычитание:
$\frac{2}{a} - \frac{7}{b} = \frac{2 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{7 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{2b}{ab} - \frac{7a}{ab} = \frac{2b - 7a}{ab}$.
Ответ: $\frac{2b - 7a}{ab}$.

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{ab}$ и $\frac{x}{c}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $ab$ и $c$ - это их произведение $abc$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $abc \div ab = c$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $abc \div c = ab$.
Выполним преобразование и вычитание:
$\frac{x}{ab} - \frac{x}{c} = \frac{x \cdot c}{ab \cdot c} - \frac{x \cdot ab}{c \cdot ab} = \frac{xc}{abc} - \frac{xab}{abc} = \frac{xc - xab}{abc}$.
Ответ: $\frac{xc - xab}{abc}$.

г) Чтобы сложить дроби $\frac{c}{ab}$ и $\frac{a}{cd}$, найдем их общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для знаменателей $ab$ и $cd$ равно $abcd$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $abcd \div ab = cd$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $abcd \div cd = ab$.
Выполним преобразование и сложение:
$\frac{c}{ab} + \frac{a}{cd} = \frac{c \cdot cd}{ab \cdot cd} + \frac{a \cdot ab}{cd \cdot ab} = \frac{c^2d}{abcd} + \frac{a^2b}{abcd} = \frac{c^2d + a^2b}{abcd}$.
Ответ: $\frac{c^2d + a^2b}{abcd}$.

д) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $b$ и $10$ - это $10b$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $10b \div b = 10$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $10b \div 10 = b$.
Выполним преобразование и сложение:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{10} = \frac{a \cdot 10}{b \cdot 10} + \frac{c \cdot b}{10 \cdot b} = \frac{10a}{10b} + \frac{cb}{10b} = \frac{10a + cb}{10b}$.
Ответ: $\frac{10a + cb}{10b}$.

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{b}{a^2}$ и $\frac{a}{b^2}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a^2$ и $b^2$ - это $a^2b^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $a^2b^2 \div a^2 = b^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $a^2b^2 \div b^2 = a^2$.
Выполним преобразование и вычитание:
$\frac{b}{a^2} - \frac{a}{b^2} = \frac{b \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} - \frac{a \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^3}{a^2b^2} - \frac{a^3}{a^2b^2} = \frac{b^3 - a^3}{a^2b^2}$.
Ответ: $\frac{b^3 - a^3}{a^2b^2}$.

50 а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y}$;

Б) $\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1}$;

В) $\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x}$;

Г) $\frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n}$;

Д) $\frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c}$;

е) $\frac{p}{q-p} - \frac{p}{q}$.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+y}$, необходимо привести их к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет произведение их знаменателей: $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{x}$ равен $(x+y)$. Для второй дроби $\frac{1}{x+y}$ дополнительный множитель равен $x$.

Выполним сложение, умножив числители на соответствующие дополнительные множители:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{x(x+y)} + \frac{1 \cdot x}{x(x+y)} = \frac{x+y+x}{x(x+y)}$

Упростим выражение в числителе:

$x+y+x = 2x+y$

Получаем итоговую дробь:

$\frac{2x+y}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{2x+y}{x(x+y)}$

б)

Приведем дроби $\frac{5}{a}$ и $\frac{3a-5}{a+1}$ к общему знаменателю $a(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+1)$, для второй — $a$.

$\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1} = \frac{5(a+1)}{a(a+1)} + \frac{a(3a-5)}{a(a+1)} = \frac{5a+5+3a^2-5a}{a(a+1)}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$5a+5+3a^2-5a = 3a^2+5$

Результат:

$\frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

Ответ: $\frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

в)

Для вычитания дробей $\frac{x}{x+y}$ и $\frac{x-y}{x}$ приведем их к общему знаменателю $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+y)$.

$\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x}{x(x+y)} - \frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - (x-y)(x+y)}{x(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x^2 - (x^2-y^2) = x^2 - x^2 + y^2 = y^2$

Результат:

$\frac{y^2}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{y^2}{x(x+y)}$

г)

Приведем дроби $\frac{m+n}{m}$ и $\frac{n+m}{m-n}$ к общему знаменателю $m(m-n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(m-n)$, для второй — $m$.

$\frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n} = \frac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)} - \frac{m(n+m)}{m(m-n)} = \frac{(m+n)(m-n) - m(m+n)}{m(m-n)}$

Упростим числитель. Используем формулу разности квадратов для $(m+n)(m-n) = m^2-n^2$ и раскроем вторые скобки:

$(m^2-n^2) - (m^2+mn) = m^2 - n^2 - m^2 - mn = -n^2 - mn$

Вынесем общий множитель $-n$ за скобки:

$-n(n+m)$

Результат:

$\frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

Ответ: $\frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

д)

Для вычитания дробей $\frac{2c}{c-d}$ и $\frac{c+d}{c}$ приведем их к общему знаменателю $c(c-d)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $(c-d)$.

$\frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c} = \frac{2c \cdot c}{c(c-d)} - \frac{(c+d)(c-d)}{c(c-d)} = \frac{2c^2 - (c+d)(c-d)}{c(c-d)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$2c^2 - (c^2 - d^2) = 2c^2 - c^2 + d^2 = c^2 + d^2$

Результат:

$\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

Ответ: $\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

е)

Приводим дроби $\frac{p}{q-p}$ и $\frac{p}{q}$ к общему знаменателю $q(q-p)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $q$, для второй — $(q-p)$.

$\frac{p}{q-p} - \frac{p}{q} = \frac{p \cdot q}{q(q-p)} - \frac{p(q-p)}{q(q-p)} = \frac{pq - p(q-p)}{q(q-p)}$

Раскроем скобки в числителе:

$pq - (pq - p^2) = pq - pq + p^2 = p^2$

Результат:

$\frac{p^2}{q(q-p)}$

Ответ: $\frac{p^2}{q(q-p)}$

51 Найдите сумму и разность дробей:

a) $ \frac{1}{a-b} $ и $ \frac{1}{a+b} $;

б) $ \frac{a+1}{a-1} $ и $ \frac{a-1}{a+1} $;

В) $ \frac{p-q}{p+q} $ и $ \frac{p+q}{p-q} $;

Г) $ \frac{m}{m+4} $ и $ \frac{m}{m-4} $.

а)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{a+b}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $(a-b)$ и $(a+b)$ — это их произведение $(a-b)(a+b)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2-b^2$.

Сумма:

$\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)+(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Разность:

$\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)-(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}$.

Ответ: сумма $\frac{2a}{a^2-b^2}$, разность $\frac{2b}{a^2-b^2}$.

б)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{a+1}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+1}$ приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2-1$.

Сумма:

$\frac{a+1}{a-1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2}{a^2-1} + \frac{(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{2a^2+2}{a^2-1} = \frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.

Разность:

$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{a^2-1} - \frac{(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}$.

Ответ: сумма $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$, разность $\frac{4a}{a^2-1}$.

в)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{p-q}{p+q}$ и $\frac{p+q}{p-q}$ приведем их к общему знаменателю $(p+q)(p-q) = p^2-q^2$.

Сумма:

$\frac{p-q}{p+q} + \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{(p+q)(p+q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{(p-q)^2}{p^2-q^2} + \frac{(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)+(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2} = \frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2}$.

Разность:

$\frac{p-q}{p+q} - \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2}{p^2-q^2} - \frac{(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)-(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2} = \frac{-4pq}{p^2-q^2}$.

Ответ: сумма $\frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2}$, разность $\frac{-4pq}{p^2-q^2}$.

г)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{m}{m+4}$ и $\frac{m}{m-4}$ приведем их к общему знаменателю $(m+4)(m-4) = m^2-16$.

Сумма:

$\frac{m}{m+4} + \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)} + \frac{m(m+4)}{(m-4)(m+4)} = \frac{m^2-4m}{m^2-16} + \frac{m^2+4m}{m^2-16} = \frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16} = \frac{2m^2}{m^2-16}$.

Разность:

$\frac{m}{m+4} - \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{m^2-16} - \frac{m(m+4)}{m^2-16} = \frac{(m^2-4m)-(m^2+4m)}{m^2-16} = \frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16} = \frac{-8m}{m^2-16}$.

Ответ: сумма $\frac{2m^2}{m^2-16}$, разность $\frac{-8m}{m^2-16}$.

Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста (52—53).

52 a) $ \frac{n - 1}{2n} - \frac{n + 1}{5n}$;$

б) $ \frac{2}{x} - \frac{1 + y}{xy}$;$

В) $ \frac{1}{y^3} + \frac{1 - y^2}{y^5}$;$

Г) $ \frac{1 - xz}{xyz} - \frac{1 - ax}{axy}$;$

Д) $ \frac{c + b}{bc^2} - \frac{c + b}{b^2c}$;$

е) $ \frac{1 + b}{abc} + \frac{1 - a}{a^2c}$.$

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{n-1}{2n} - \frac{n+1}{5n}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2n$ и $5n$ — это $10n$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{n-1}{2n}$ дополнительный множитель равен $10n / 2n = 5$. Для второй дроби $\frac{n+1}{5n}$ дополнительный множитель равен $10n / 5n = 2$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$\frac{5(n-1)}{5 \cdot 2n} - \frac{2(n+1)}{2 \cdot 5n} = \frac{5n-5}{10n} - \frac{2n+2}{10n}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(5n-5) - (2n+2)}{10n} = \frac{5n-5-2n-2}{10n} = \frac{3n-7}{10n}$

Ответ: $\frac{3n-7}{10n}$

б)

Выполним вычитание дробей $\frac{2}{x} - \frac{1+y}{xy}$. Общий знаменатель для $x$ и $xy$ — это $xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{x}$ равен $xy/x = y$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$\frac{2 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1+y}{xy} = \frac{2y}{xy} - \frac{1+y}{xy}$
Выполним вычитание:
$\frac{2y - (1+y)}{xy} = \frac{2y-1-y}{xy} = \frac{y-1}{xy}$

Ответ: $\frac{y-1}{xy}$

в)

Выполним сложение дробей $\frac{1}{y^3} + \frac{1-y^2}{y^5}$. Общий знаменатель для $y^3$ и $y^5$ — это $y^5$ (наибольшая степень).
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{y^3}$ равен $y^5/y^3 = y^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot y^2}{y^3 \cdot y^2} + \frac{1-y^2}{y^5} = \frac{y^2}{y^5} + \frac{1-y^2}{y^5}$
Выполним сложение:
$\frac{y^2 + (1-y^2)}{y^5} = \frac{y^2+1-y^2}{y^5} = \frac{1}{y^5}$

Ответ: $\frac{1}{y^5}$

г)

Выполним вычитание дробей $\frac{1-xz}{xyz} - \frac{1-ax}{axy}$. Общий знаменатель для $xyz$ и $axy$ — это $axyz$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1-xz}{xyz}$ равен $axyz/xyz = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-ax}{axy}$ равен $axyz/axy = z$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(1-xz)}{axyz} - \frac{z(1-ax)}{axyz} = \frac{a-axz}{axyz} - \frac{z-axz}{axyz}$
Выполним вычитание:
$\frac{(a-axz) - (z-axz)}{axyz} = \frac{a-axz-z+axz}{axyz} = \frac{a-z}{axyz}$

Ответ: $\frac{a-z}{axyz}$

д)

Выполним вычитание дробей $\frac{c+b}{bc^2} - \frac{c+b}{b^2c}$. Общий знаменатель для $bc^2$ и $b^2c$ — это $b^2c^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{c+b}{bc^2}$ равен $b^2c^2/bc^2 = b$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{c+b}{b^2c}$ равен $b^2c^2/b^2c = c$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{b(c+b)}{b^2c^2} - \frac{c(c+b)}{b^2c^2} = \frac{bc+b^2}{b^2c^2} - \frac{c^2+bc}{b^2c^2}$
Выполним вычитание:
$\frac{(bc+b^2) - (c^2+bc)}{b^2c^2} = \frac{bc+b^2-c^2-bc}{b^2c^2} = \frac{b^2-c^2}{b^2c^2}$

Ответ: $\frac{b^2-c^2}{b^2c^2}$

е)

Выполним сложение дробей $\frac{1+b}{abc} + \frac{1-a}{a^2c}$. Общий знаменатель для $abc$ и $a^2c$ — это $a^2bc$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1+b}{abc}$ равен $a^2bc/abc = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-a}{a^2c}$ равен $a^2bc/a^2c = b$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(1+b)}{a^2bc} + \frac{b(1-a)}{a^2bc} = \frac{a+ab}{a^2bc} + \frac{b-ab}{a^2bc}$
Выполним сложение:
$\frac{(a+ab) + (b-ab)}{a^2bc} = \frac{a+ab+b-ab}{a^2bc} = \frac{a+b}{a^2bc}$

Ответ: $\frac{a+b}{a^2bc}$

53 a) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy};$

Б) $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b};$

В) $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz};$

Г) $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}.$

а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$

Для сложения дробей их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели дробей: $x$, $y$ и $xy$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них равен $xy$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $y$, вторую — на $x$. Третья дробь уже имеет необходимый знаменатель.

$\frac{1 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} + \frac{1}{xy} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} + \frac{1}{xy}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно сложить их числители:

$\frac{y + x + 1}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y+1}{xy}$

б) $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Знаменатели: $b^3$, $b^2$, $b$. Наименьшим общим знаменателем для них является $b^3$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби — $b$, для третьей — $b^2$.

$\frac{1}{b^3} - \frac{2 \cdot b}{b^2 \cdot b} + \frac{1 \cdot b^2}{b \cdot b^2} = \frac{1}{b^3} - \frac{2b}{b^3} + \frac{b^2}{b^3}$

Выполним сложение и вычитание числителей:

$\frac{1 - 2b + b^2}{b^3}$

Заметим, что выражение в числителе $b^2 - 2b + 1$ является формулой квадрата разности: $(b-1)^2$.

Ответ: $\frac{(b-1)^2}{b^3}$

в) $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz}$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями $xy$, $xz$, $yz$. НОЗ для них будет $xyz$.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $z$, для второй — $y$, для третьей — $x$.

$\frac{(x+y) \cdot z}{xyz} - \frac{(x+z) \cdot y}{xyz} + \frac{(y+z) \cdot x}{xyz}$

Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителях. Важно учесть знак "минус" перед второй дробью, который изменит знаки в ее числителе.

$\frac{xz+yz - (xy+zy) + yx+zx}{xyz} = \frac{xz+yz-xy-zy+yx+zx}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $yz$ и $-zy$ взаимно уничтожаются, как и $-xy$ и $+yx$. Остается $xz+zx=2xz$.

$\frac{2xz}{xyz}$

Сократим полученную дробь на $x$ и $z$.

Ответ: $\frac{2}{y}$

г) $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}$

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $3x$, $2y$ и $6xy$ является $6xy$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2y$, для второй — $3x$.

$\frac{(3x+1) \cdot 2y}{6xy} - \frac{(2y+1) \cdot 3x}{6xy} + \frac{3x-y}{6xy}$

Запишем все под общим знаменателем, раскрыв скобки и поменяв знаки у слагаемых из числителя второй дроби:

$\frac{6xy+2y - (6xy+3x) + 3x-y}{6xy} = \frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $6xy$ и $-6xy$ сокращаются, $-3x$ и $+3x$ сокращаются, а $2y-y=y$.

$\frac{y}{6xy}$

Сократим полученную дробь на $y$.

Ответ: $\frac{1}{6x}$

Упростите выражение (54—56).

54 a) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3}$;

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)}$;

В) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$;

Г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}$;

а) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{4b}{3(b+3)}$ и $\frac{4}{b+3}$ равен $3(b+3)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{4}{b+3} = \frac{4 \cdot 3}{3(b+3)} = \frac{12}{3(b+3)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{12}{3(b+3)} = \frac{4b + 12}{3(b+3)}$

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(b + 3)}{3(b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$ (при условии, что $b+3 \neq 0$):

$\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Знаменатели $4(x-1)$ и $6(x-1)$ имеют общий множитель $(x-1)$. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6 равно 12. Таким образом, общий знаменатель равен $12(x-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй — 2:

$\frac{x \cdot 3}{4(x-1) \cdot 3} - \frac{x \cdot 2}{6(x-1) \cdot 2} = \frac{3x}{12(x-1)} - \frac{2x}{12(x-1)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3x - 2x}{12(x-1)} = \frac{x}{12(x-1)}$

Ответ: $\frac{x}{12(x-1)}$

в) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$

Общий знаменатель для данных дробей равен $ab(a+b)$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $b$, а вторую — на $a$:

$\frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)}$

Сложим дроби:

$\frac{b+a}{ab(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}$

Общий знаменатель для дробей равен $xy(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $y$:

$\frac{3x \cdot x}{y(x+y) \cdot x} - \frac{3y \cdot y}{x(x+y) \cdot y} = \frac{3x^2}{xy(x+y)} - \frac{3y^2}{xy(x+y)}$

Выполним вычитание:

$\frac{3x^2 - 3y^2}{xy(x+y)}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{3(x^2 - y^2)}{xy(x+y)} = \frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{3(x-y)}{xy}$

Ответ: $\frac{3(x-y)}{xy}$

55 а) $\frac{2a}{3a+3} + \frac{5a}{6a+6};$

б) $\frac{m}{4m-4} - \frac{m}{12m-12};$

В) $\frac{x}{2x-2y} + \frac{3x}{8x-8y};$

Г) $\frac{4p}{9p+9q} - \frac{p}{3p+3q};$

Д) $\frac{x}{ax+ay} + \frac{y}{by+bx};$

е) $\frac{a}{cb-cd} - \frac{c}{ab-ad}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{2a}{3a+3} + \frac{5a}{6a+6}$.

Для выполнения сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$3a+3 = 3(a+1)$

$6a+6 = 6(a+1)$

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для знаменателей $3(a+1)$ и $6(a+1)$ является $6(a+1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$\frac{2a}{3(a+1)} = \frac{2a \cdot 2}{3(a+1) \cdot 2} = \frac{4a}{6(a+1)}$

Теперь, когда обе дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4a}{6(a+1)} + \frac{5a}{6(a+1)} = \frac{4a+5a}{6(a+1)} = \frac{9a}{6(a+1)}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{9a}{6(a+1)} = \frac{3 \cdot 3a}{2 \cdot 3(a+1)} = \frac{3a}{2(a+1)}$

Ответ: $\frac{3a}{2(a+1)}$.

б)

Исходное выражение: $\frac{m}{4m-4} - \frac{m}{12m-12}$.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$4m-4 = 4(m-1)$

$12m-12 = 12(m-1)$

НОЗ для $4(m-1)$ и $12(m-1)$ равен $12(m-1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее на дополнительный множитель 3:

$\frac{m}{4(m-1)} = \frac{m \cdot 3}{4(m-1) \cdot 3} = \frac{3m}{12(m-1)}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{3m}{12(m-1)} - \frac{m}{12(m-1)} = \frac{3m-m}{12(m-1)} = \frac{2m}{12(m-1)}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2m}{12(m-1)} = \frac{m}{6(m-1)}$

Ответ: $\frac{m}{6(m-1)}$.

в)

Исходное выражение: $\frac{x}{2x-2y} + \frac{3x}{8x-8y}$.

Разложим знаменатели на множители:

$2x-2y = 2(x-y)$

$8x-8y = 8(x-y)$

НОЗ для $2(x-y)$ и $8(x-y)$ равен $8(x-y)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 4:

$\frac{x}{2(x-y)} = \frac{x \cdot 4}{2(x-y) \cdot 4} = \frac{4x}{8(x-y)}$

Сложим дроби:

$\frac{4x}{8(x-y)} + \frac{3x}{8(x-y)} = \frac{4x+3x}{8(x-y)} = \frac{7x}{8(x-y)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{7x}{8(x-y)}$.

г)

Исходное выражение: $\frac{4p}{9p+9q} - \frac{p}{3p+3q}$.

Разложим знаменатели на множители:

$9p+9q = 9(p+q)$

$3p+3q = 3(p+q)$

НОЗ для $9(p+q)$ и $3(p+q)$ равен $9(p+q)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{p}{3(p+q)} = \frac{p \cdot 3}{3(p+q) \cdot 3} = \frac{3p}{9(p+q)}$

Выполним вычитание:

$\frac{4p}{9(p+q)} - \frac{3p}{9(p+q)} = \frac{4p-3p}{9(p+q)} = \frac{p}{9(p+q)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{p}{9(p+q)}$.

д)

Исходное выражение: $\frac{x}{ax+ay} + \frac{y}{by+bx}$.

Разложим знаменатели на множители:

$ax+ay = a(x+y)$

$by+bx = b(y+x) = b(x+y)$

НОЗ для $a(x+y)$ и $b(x+y)$ равен $ab(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.

$\frac{x \cdot b}{a(x+y) \cdot b} + \frac{y \cdot a}{b(x+y) \cdot a} = \frac{bx}{ab(x+y)} + \frac{ay}{ab(x+y)}$

Сложим числители:

$\frac{bx+ay}{ab(x+y)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{ay+bx}{ab(x+y)}$.

е)

Исходное выражение: $\frac{a}{cb-cd} - \frac{c}{ab-ad}$.

Разложим знаменатели на множители:

$cb-cd = c(b-d)$

$ab-ad = a(b-d)$

НОЗ для $c(b-d)$ и $a(b-d)$ равен $ac(b-d)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $c$.

$\frac{a \cdot a}{c(b-d) \cdot a} - \frac{c \cdot c}{a(b-d) \cdot c} = \frac{a^2}{ac(b-d)} - \frac{c^2}{ac(b-d)}$

Выполним вычитание:

$\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}$

Числитель $a^2-c^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2-c^2 = (a-c)(a+c)$.

$\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}$

Так как в числителе и знаменателе нет общих множителей, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}$.