Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

68 a) $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b};$

б) $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2};$

В) $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a};$

Г) $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$.

Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем знаменатель второй дроби: $b^2-a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$. Это позволяет нам изменить знак перед второй дробью и использовать общий знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Объединим числители под одним знаменателем:

$\frac{a(a+b) - (a^2+b^2) + a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab = (a^2 - a^2 + a^2) + (ab - ab) - b^2 = a^2 - b^2$

Подставим полученное выражение в числитель:

$\frac{a^2 - b^2}{(a-b)(a+b)}$

Так как $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, то дробь сокращается:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1$

Ответ: $1$

б)

Исходное выражение: $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$.

Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий. Заметим, что $y-x = -(x-y)$ и $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{1}{x+y} - \frac{1}{-(x-y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Изменение знака во второй дроби дает:

$\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Общий знаменатель — $(x-y)(x+y)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{1(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Объединим числители:

$\frac{(x-y) + (x+y) - 2y}{(x-y)(x+y)}$

Упростим числитель:

$x - y + x + y - 2y = 2x - 2y = 2(x-y)$

Подставим обратно в дробь:

$\frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$

в)

Исходное выражение: $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$4-a^2 = (2-a)(2+a)$

$2a-4 = 2(a-2) = -2(2-a)$

$4+2a = 2(2+a)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{a}{(2-a)(2+a)} - \frac{2+a}{-2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$

Упростим знаки:

$\frac{a}{(2-a)(2+a)} + \frac{2+a}{2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$

Общий знаменатель — $2(2-a)(2+a)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2a}{2(2-a)(2+a)} + \frac{(2+a)(2+a)}{2(2-a)(2+a)} - \frac{(2-a)(2-a)}{2(2-a)(2+a)}$

Объединим числители:

$\frac{2a + (2+a)^2 - (2-a)^2}{2(2-a)(2+a)}$

Упростим числитель, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$2a + (4+4a+a^2) - (4-4a+a^2) = 2a + 4 + 4a + a^2 - 4 + 4a - a^2 = 10a$

Подставим в дробь:

$\frac{10a}{2(2-a)(2+a)} = \frac{10a}{2(4-a^2)}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{5a}{4-a^2}$

Ответ: $\frac{5a}{4-a^2}$

г)

Исходное выражение: $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $1-x^2 = -(x^2-1) = -(x-1)(x+1)$.

$\frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1}$

Общий знаменатель — $(x-1)^2(x+1)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{1(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$

Объединим числители:

$\frac{(x+1)^2 - 2(x-1) - (x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(x^2+2x+1) - (2x-2) - (x^2-2x+1) = x^2+2x+1-2x+2-x^2+2x-1 = 2x+2 = 2(x+1)$

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$\frac{2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+1)$:

$\frac{2}{(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{2}{(x-1)^2}$

69 Представьте в виде дроби:

a) $2x - y - \frac{2x - y^2}{y};$

Б) $1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a};$

В) $\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b;$

Г) $6 + b - \frac{12b}{6 + b};$

Д) $\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2;$

е) $\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1.$

а) Чтобы представить выражение $2x - y - \frac{2x - y^2}{y}$ в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю $y$.

$2x - y - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2x \cdot y}{y} - \frac{y \cdot y}{y} - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2xy - y^2 - (2x - y^2)}{y}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2xy - y^2 - 2x + y^2}{y} = \frac{2xy - 2x}{y}$

Ответ: $\frac{2xy - 2x}{y}$

б) Чтобы представить выражение $1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a}$ в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю $3+a$.

$1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{1 \cdot (3+a)}{3+a} - \frac{a(3+a)}{3+a} + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{3+a - (3a+a^2) + a^2 - 3}{3+a}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3+a - 3a - a^2 + a^2 - 3}{3+a} = \frac{-2a}{3+a}$

Ответ: $\frac{-2a}{a+3}$

в) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b$ в виде дроби, приведем слагаемые $2a$ и $-b$ к общему знаменателю $2a+b$.

$\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + \frac{2a(2a + b)}{2a + b} - \frac{b(2a + b)}{2a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2a(2a + b) - b(2a + b)}{2a + b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2 + 2ab - 2ab - b^2}{2a + b} = \frac{5a^2}{2a + b}$

Ответ: $\frac{5a^2}{2a + b}$

г) Чтобы представить выражение $6 + b - \frac{12b}{6 + b}$ в виде дроби, приведем $6+b$ к общему знаменателю $6+b$.

$6 + b - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6+b)(6+b)}{6+b} - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6+b)^2 - 12b}{6+b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе:

$\frac{36 + 12b + b^2 - 12b}{6 + b} = \frac{b^2 + 36}{6 + b}$

Ответ: $\frac{b^2 + 36}{b+6}$

д) Чтобы представить выражение $\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2$ в виде дроби, приведем слагаемые $-x$ и $-2$ к общему знаменателю $x-2$.

$\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2 = \frac{x^2 + 4}{x - 2} - (x+2) = \frac{x^2 + 4}{x-2} - \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ в числителе второй дроби:

$\frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{x - 2} = \frac{x^2 + 4 - x^2 + 4}{x - 2} = \frac{8}{x - 2}$

Ответ: $\frac{8}{x - 2}$

е) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1$ в виде дроби, приведем слагаемые $-a$ и $1$ к общему знаменателю $a-1$.

$\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^2 - 3}{a - 1} - (a-1) = \frac{a^2 - 3}{a-1} - \frac{(a-1)(a-1)}{a-1} = \frac{a^2 - 3 - (a-1)^2}{a-1}$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ в числителе:

$\frac{a^2 - 3 - (a^2 - 2a + 1)}{a - 1} = \frac{a^2 - 3 - a^2 + 2a - 1}{a - 1} = \frac{2a - 4}{a - 1}$

Ответ: $\frac{2a - 4}{a - 1}$

70 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:

а) $\frac{a^2}{a-1}$;

б) $\frac{c^2}{c^2-1}$;

в) $\frac{m^2+n^2}{m-n}$;

г) $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$.

Образец. $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2-1+1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$.

а)

Чтобы представить дробь в виде суммы многочлена и дроби, выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель. В данном случае знаменатель равен $a-1$. Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы получить в числителе выражение $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Для этого прибавим и вычтем 1 в числителе:

$\frac{a^2}{a-1} = \frac{a^2 - 1 + 1}{a-1}$

Теперь разделим полученную дробь на сумму двух дробей:

$\frac{a^2 - 1}{a-1} + \frac{1}{a-1}$

Сократим первую дробь, разложив числитель на множители:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1} + \frac{1}{a-1} = a+1 + \frac{1}{a-1}$

Ответ: $a+1 + \frac{1}{a-1}$

б)

Используем тот же метод. Знаменатель дроби равен $c^2-1$. Представим числитель $c^2$ в виде $c^2-1+1$, чтобы выделить слагаемое, равное знаменателю.

$\frac{c^2}{c^2-1} = \frac{c^2-1+1}{c^2-1}$

Разделим дробь на сумму двух:

$\frac{c^2-1}{c^2-1} + \frac{1}{c^2-1}$

Первая дробь равна единице, так как числитель и знаменатель равны:

$1 + \frac{1}{c^2-1}$

Ответ: $1 + \frac{1}{c^2-1}$

в)

В дроби $\frac{m^2+n^2}{m-n}$ знаменатель равен $m-n$. Чтобы выделить в числителе выражение, делящееся на $m-n$, используем формулу разности квадратов $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Для этого преобразуем числитель: $m^2+n^2 = m^2-n^2+2n^2$.

$\frac{m^2+n^2}{m-n} = \frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}$

Разделим на сумму двух дробей:

$\frac{m^2-n^2}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n}$

Сократим первую дробь, разложив числитель на множители:

$\frac{(m-n)(m+n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n} = m+n + \frac{2n^2}{m-n}$

Ответ: $m+n + \frac{2n^2}{m-n}$

г)

Для дроби $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$ выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель $x+z$. Сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2+xz+z^2 = x(x+z)+z^2$

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{x(x+z)+z^2}{x+z}$

Разделим на сумму двух дробей:

$\frac{x(x+z)}{x+z} + \frac{z^2}{x+z}$

Сократив первую дробь, получим:

$x + \frac{z^2}{x+z}$

Данный результат также можно получить, разделив многочлен $x^2+xz+z^2$ на многочлен $x+z$ "уголком".

Ответ: $x + \frac{z^2}{x+z}$

71 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0$

б) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$

Подсказка. б) Сначала сложите первую и вторую дроби, затем прибавьте третью.

а) Для доказательства данного тождества необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы они содержали одинаковые множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$. Используем эти соотношения для преобразования знаменателей:

Вторая дробь: $$ \frac{1}{(b-c)(b-a)} = \frac{1}{(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{(a-b)(b-c)} $$

Третья дробь: $$ \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Подставим преобразованные дроби обратно в исходное равенство:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-b)(b-c)(a-c)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающий множитель:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Теперь, когда у всех дробей общий знаменатель, сложим их числители:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 0 $$

Таким образом, левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате преобразований левая часть тождества равна $0$, что доказывает равенство.

б) Докажем тождество, следуя подсказке. Сначала сложим первую и вторую дроби, а затем к полученному результату прибавим третью дробь.

Шаг 1. Сложение первой и второй дробей.

$$ \frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $a(a+1)(a+2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1 \cdot (a+2)}{a(a+1)(a+2)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a+2+a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2a+2}{a(a+1)(a+2)} $$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь на $(a+1)$:

$$ \frac{2(a+1)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2}{a(a+2)} $$

Шаг 2. Сложение результата первого шага и третьей дроби.

Теперь к полученной дроби $\frac{2}{a(a+2)}$ прибавим третью дробь из исходного выражения $\frac{1}{(a+2)(a+3)}$:

$$ \frac{2}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $a(a+2)(a+3)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{2 \cdot (a+3)}{a(a+2)(a+3)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+3)+a}{a(a+2)(a+3)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a+6+a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{3a+6}{a(a+2)(a+3)} $$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки и сократим дробь на $(a+2)$:

$$ \frac{3(a+2)}{a(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)} $$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества.

Ответ: В результате последовательного сложения дробей левая часть выражения была приведена к виду $\frac{3}{a(a+3)}$, что и требовалось доказать.

72 ИССЛЕДУЕМ

1) Проверьте равенства:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3} $;$ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4} $;$ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5} $;$ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5 \cdot 6} $.

Продолжите эту цепочку равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:

a) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} $

б) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)} $

3) Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Получился ли тот же результат?

1) Проверим справедливость приведенных равенств, приводя левые части к общему знаменателю:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot 3}$ (верно)
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$ (верно)
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4 \cdot 5}$ (верно)
$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6-5}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5 \cdot 6}$ (верно)
Все равенства верны.
Продолжение этой цепочки: следующим равенством будет $\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6 \cdot 7}$.
Соответствующее буквенное равенство (тождество) для произвольного натурального числа $n$ (или любой переменной, для которой знаменатели не равны нулю) имеет вид:
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$
Докажем его, приведя левую часть к общему знаменателю $n(n+1)$:
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$
Так как левая часть равна правой, равенство доказано.

2) Применим доказанное равенство для упрощения выражений.

а) Для суммы $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ заменим каждую дробь вида $\frac{1}{k(k+1)}$ на разность $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$:
$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
Это телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые (например, $-\frac{1}{2}$ и $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$ и т.д.) взаимно уничтожаются. В результате остаются только первое и последнее слагаемые:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
Ответ: $\frac{n}{n+1}$.

б) Аналогично для выражения $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)}$:
$(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + \dots + (\frac{1}{x+99} - \frac{1}{x+100})$
После сокращения промежуточных слагаемых получаем разность первого и последнего членов:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} = \frac{1 \cdot (x+100)}{x(x+100)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+100)} = \frac{x+100-x}{x(x+100)} = \frac{100}{x(x+100)}$
Ответ: $\frac{100}{x(x+100)}$.

3) Упростим выражения другим способом, последовательно складывая дроби, чтобы проверить, совпадут ли результаты.
Для выражения из пункта а):
Сумма первых двух членов: $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Добавим третий член: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
Наблюдается закономерность: сумма $k$ первых членов равна $\frac{k}{k+1}$. Следовательно, для суммы $n$ членов результат будет $\frac{n}{n+1}$.
Для выражения из пункта б):
Сумма первых двух членов: $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$.
Добавим третий член: $\frac{2}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2(x+3)}{x(x+2)(x+3)} + \frac{x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3x+6}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$.
Наблюдается закономерность: сумма $k$ первых членов равна $\frac{k}{x(x+k)}$. В исходном выражении 100 слагаемых, значит итоговый результат $\frac{100}{x(x+100)}$.
Ответ: Да, для обоих выражений получились те же результаты, что и при решении первым способом.