Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

76 Как возвести в степень дробь? Выполните возведение в степень:

а) $ (\frac{x^2}{y})^3 $;

б) $ (\frac{4}{bc^3})^2 $;

в) $ (\frac{a^2b}{cd^2})^4 $;

г) $ (\frac{mn}{10p^3})^3 $;

д) $ (-\frac{2a^2}{b})^2 $;

е) $ (-\frac{x^4}{2y})^3 $;

ж) $ (-\frac{ax^3}{y^2})^2 $;

з) $ (-\frac{2}{m^2n})^5 $.

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Результат возведения числителя записывается в новый числитель, а результат возведения знаменателя — в новый знаменатель. Это правило можно выразить формулой: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

При решении также используются следующие свойства степеней:
1. При возведении степени в степень, их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. При возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель: $(ab)^n = a^n b^n$.
3. При возведении отрицательного основания в четную степень, результат будет положительным. При возведении в нечетную степень, результат будет отрицательным.

а) Для возведения дроби $(\frac{x^2}{y})^3$ в третью степень, возводим в куб числитель и знаменатель: $\frac{(x^2)^3}{y^3}$. Затем применяем свойство возведения степени в степень к числителю: $\frac{x^{2 \cdot 3}}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}$.
Ответ: $\frac{x^6}{y^3}$

б) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби $(\frac{4}{bc^3})^2$: $\frac{4^2}{(bc^3)^2}$. В знаменателе возводим в степень каждый множитель: $\frac{16}{b^2(c^3)^2} = \frac{16}{b^2c^{3 \cdot 2}} = \frac{16}{b^2c^6}$.
Ответ: $\frac{16}{b^2c^6}$

в) Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель дроби $(\frac{a^2b}{cd^2})^4$: $\frac{(a^2b)^4}{(cd^2)^4}$. Применяем свойство степени произведения для числителя и знаменателя: $\frac{(a^2)^4 b^4}{c^4 (d^2)^4} = \frac{a^{2 \cdot 4} b^4}{c^4 d^{2 \cdot 4}} = \frac{a^8 b^4}{c^4 d^8}$.
Ответ: $\frac{a^8 b^4}{c^4 d^8}$

г) Возводим в куб числитель и знаменатель дроби $(\frac{mn}{10p^3})^3$: $\frac{(mn)^3}{(10p^3)^3}$. Раскрываем скобки в числителе и знаменателе: $\frac{m^3n^3}{10^3(p^3)^3} = \frac{m^3n^3}{1000p^{3 \cdot 3}} = \frac{m^3n^3}{1000p^9}$.
Ответ: $\frac{m^3n^3}{1000p^9}$

д) Выражение $(-\frac{2a^2}{b})^2$ возводится в четную степень (2), поэтому знак минус исчезает: $(\frac{2a^2}{b})^2$. Далее возводим в степень числитель и знаменатель: $\frac{(2a^2)^2}{b^2} = \frac{2^2(a^2)^2}{b^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}}{b^2} = \frac{4a^4}{b^2}$.
Ответ: $\frac{4a^4}{b^2}$

е) Выражение $(-\frac{x^4}{2y})^3$ возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохраняется: $-(\frac{x^4}{2y})^3$. Возводим дробь в степень: $-\frac{(x^4)^3}{(2y)^3} = -\frac{x^{4 \cdot 3}}{2^3y^3} = -\frac{x^{12}}{8y^3}$.
Ответ: $-\frac{x^{12}}{8y^3}$

ж) Выражение $(-\frac{ax^3}{y^2})^2$ возводится в четную степень (2), поэтому итоговый результат будет положительным: $(\frac{ax^3}{y^2})^2$. Возводим в степень числитель и знаменатель: $\frac{(ax^3)^2}{(y^2)^2} = \frac{a^2(x^3)^2}{y^{2 \cdot 2}} = \frac{a^2x^{3 \cdot 2}}{y^4} = \frac{a^2x^6}{y^4}$.
Ответ: $\frac{a^2x^6}{y^4}$

з) Выражение $(-\frac{2}{m^2n})^5$ возводится в нечетную степень (5), поэтому знак минус сохраняется: $-(\frac{2}{m^2n})^5$. Возводим дробь в степень: $-\frac{2^5}{(m^2n)^5} = -\frac{32}{(m^2)^5n^5} = -\frac{32}{m^{2 \cdot 5}n^5} = -\frac{32}{m^{10}n^5}$.
Ответ: $-\frac{32}{m^{10}n^5}$

77 Выполните умножение:

a) $\frac{y}{x} \cdot \frac{x^2 - xy}{y^2}$;

б) $\frac{b^2}{2a} \cdot \frac{6a}{ab - b^2}$;

В) $\frac{x}{5x + 5y} \cdot \frac{x + y}{y}$;

Г) $\frac{a^2 - ab}{b} \cdot \frac{a}{a - b}$;

Д) $\frac{a + 1}{a} \cdot \frac{b}{a^2 + a}$;

е) $\frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{d}{c^2}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{y}{x} \cdot \frac{x^2 - xy}{y^2} = \frac{y \cdot (x^2 - xy)}{x \cdot y^2} $. Теперь упростим полученное выражение. Разложим числитель $x^2 - xy$ на множители, вынеся за скобки общий множитель $x$: $x^2 - xy = x(x-y)$. Подставим это в дробь: $ \frac{y \cdot x(x-y)}{x \cdot y^2} $. Сократим дробь на общие множители $x$ и $y$: $ \frac{\cancel{y} \cdot \cancel{x}(x-y)}{\cancel{x} \cdot y^2} = \frac{x-y}{y} $. Ответ: $ \frac{x-y}{y} $

б) Перемножим числители и знаменатели дробей: $ \frac{b^2}{2a} \cdot \frac{6a}{ab - b^2} = \frac{b^2 \cdot 6a}{2a \cdot (ab - b^2)} $. Разложим на множители знаменатель $ab - b^2$, вынеся за скобки $b$: $ab - b^2 = b(a-b)$. Получим выражение: $ \frac{b^2 \cdot 6a}{2a \cdot b(a-b)} $. Сократим общие множители $b$, $a$ и числовые коэффициенты: $ \frac{b^{\cancel{2}} \cdot \cancel{6}^3 \cancel{a}}{\cancel{2}\cancel{a} \cdot \cancel{b}(a-b)} = \frac{3b}{a-b} $. Ответ: $ \frac{3b}{a-b} $

в) Умножим дроби: $ \frac{x}{5x + 5y} \cdot \frac{x + y}{y} = \frac{x(x+y)}{(5x+5y)y} $. В знаменателе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5x+5y = 5(x+y)$. Получим: $ \frac{x(x+y)}{5(x+y)y} $. Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$: $ \frac{x\cancel{(x+y)}}{5\cancel{(x+y)}y} = \frac{x}{5y} $. Ответ: $ \frac{x}{5y} $

г) Умножим дроби: $ \frac{a^2 - ab}{b} \cdot \frac{a}{a - b} = \frac{(a^2-ab)a}{b(a-b)} $. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - ab = a(a-b)$. Получим: $ \frac{a(a-b)a}{b(a-b)} $. Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$: $ \frac{a\cancel{(a-b)}a}{b\cancel{(a-b)}} = \frac{a^2}{b} $. Ответ: $ \frac{a^2}{b} $

д) Перемножим дроби: $ \frac{a + 1}{a} \cdot \frac{b}{a^2 + a} = \frac{(a+1)b}{a(a^2+a)} $. В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2+a=a(a+1)$. Получим: $ \frac{(a+1)b}{a \cdot a(a+1)} $. Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$: $ \frac{\cancel{(a+1)}b}{a^2\cancel{(a+1)}} = \frac{b}{a^2} $. Ответ: $ \frac{b}{a^2} $

е) Умножим дроби: $ \frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{d}{c^2} = \frac{(ac-cd)d}{ad \cdot c^2} $. В числителе вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac-cd=c(a-d)$. Получим: $ \frac{c(a-d)d}{adc^2} $. Сократим дробь на общие множители $c$ и $d$: $ \frac{\cancel{c}(a-d)\cancel{d}}{a\cancel{d}c^{\cancel{2}}} = \frac{a-d}{ac} $. Ответ: $ \frac{a-d}{ac} $

78 Выполните деление:

а) $\frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x}$;

б) $\frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc}$;

в) $\frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y}$;

г) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2}$;

д) $\frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b}$;

е) $\frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m}$.

а) Чтобы разделить дробь $ \frac{ax - xy}{a} $ на дробь $ \frac{a^2 - ay}{x} $, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x} = \frac{ax - xy}{a} \cdot \frac{x}{a^2 - ay} $.
Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:
$ ax - xy = x(a - y) $
$ a^2 - ay = a(a - y) $
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{x(a - y)}{a} \cdot \frac{x}{a(a - y)} = \frac{x(a - y) \cdot x}{a \cdot a(a - y)} $.
Сократим общий множитель $ (a - y) $. Предполагается, что $ a \neq 0, x \neq 0, a \neq y $.
$ \frac{x \cdot x}{a \cdot a} = \frac{x^2}{a^2} $.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} $.

б) Выполним деление дробей $ \frac{ab + ac}{bc} $ на $ \frac{ab - ac}{bc} $, заменив его умножением на обратную дробь:
$ \frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc} = \frac{ab + ac}{bc} \cdot \frac{bc}{ab - ac} $.
Вынесем общий множитель $ a $ в числителе первой дроби и знаменателе второй:
$ \frac{a(b + c)}{bc} \cdot \frac{bc}{a(b - c)} = \frac{a(b + c) \cdot bc}{bc \cdot a(b - c)} $.
Сократим общие множители $ a $ и $ bc $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0, b \neq c $.
$ \frac{b + c}{b - c} $.
Ответ: $ \frac{b + c}{b - c} $.

в) Выполним деление дробей $ \frac{x}{x^2 - y^2} $ на $ \frac{1}{5x + 5y} $:
$ \frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y} = \frac{x}{x^2 - y^2} \cdot \frac{5x + 5y}{1} $.
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и вынесем общий множитель в числителе второй дроби:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
$ 5x + 5y = 5(x + y) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{x}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{5(x + y)}{1} = \frac{x \cdot 5(x + y)}{(x - y)(x + y)} $.
Сократим общий множитель $ (x + y) $. Предполагается, что $ x \neq y, x \neq -y $.
$ \frac{5x}{x - y} $.
Ответ: $ \frac{5x}{x - y} $.

г) Выполним деление дробей $ \frac{1}{a^2 - ab} $ на $ \frac{b}{a^2 - b^2} $:
$ \frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2 - b^2}{b} $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{1}{a(a - b)} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)b} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq b $.
$ \frac{a + b}{ab} $.
Ответ: $ \frac{a + b}{ab} $.

д) Выполним деление дробей $ \frac{a^2 + ab}{b^2} $ на $ \frac{a^2 + a}{b} $:
$ \frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2 + a} $.
Вынесем общие множители в числителе первой дроби и знаменателе второй:
$ a^2 + ab = a(a + b) $
$ a^2 + a = a(a + 1) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{a(a + b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a(a + 1)} = \frac{a(a + b)b}{b^2 a(a + 1)} $.
Сократим общие множители $ a $ и $ b $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq -1 $.
$ \frac{a + b}{b(a + 1)} $.
Ответ: $ \frac{a + b}{b(a + 1)} $.

е) Выполним деление дробей $ \frac{m^2 - mn}{n} $ на $ \frac{mn - n^2}{m} $:
$ \frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m} = \frac{m^2 - mn}{n} \cdot \frac{m}{mn - n^2} $.
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$ m^2 - mn = m(m - n) $
$ mn - n^2 = n(m - n) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{m(m - n)}{n} \cdot \frac{m}{n(m - n)} = \frac{m(m - n)m}{n \cdot n(m - n)} $.
Сократим общий множитель $ (m - n) $. Предполагается, что $ m \neq 0, n \neq 0, m \neq n $.
$ \frac{m \cdot m}{n \cdot n} = \frac{m^2}{n^2} $.
Ответ: $ \frac{m^2}{n^2} $.

79 Выполните действия:

а) $\frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2 - ad}$

б) $\frac{x^2 - 2x}{y^2} \cdot \frac{x^2y - 2xy}{4}$

В) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} \cdot \frac{3x + 3y}{x}$

Г) $\frac{xy + x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy + y^2}$

Д) $\frac{b}{c^2 - bc} : \frac{b^3}{c^2 - b^2}$

е) $\frac{m^2 - n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m - 3n}$

Ж) $\frac{a^2b}{a^2 - 2ab + b^2} : \frac{a}{ab - b^2}$

З) $\frac{p^2 + 2pq + q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2 - q^2}$

а) $\frac{ac-cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2-ad}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, где это возможно.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac-cd = c(a-d)$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2-ad = a(a-d)$.

Подставим разложенные выражения в пример:
$\frac{c(a-d)}{ad} \cdot \frac{cd}{a(a-d)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(a-d)$ и $d$.
$\frac{c(\cancel{a-d})}{a\cancel{d}} \cdot \frac{c\cancel{d}}{a(\cancel{a-d})} = \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{a}$

Перемножаем оставшиеся части:
$\frac{c \cdot c}{a \cdot a} = \frac{c^2}{a^2}$

Ответ: $\frac{c^2}{a^2}$

б) $\frac{x^2-2x}{y^2} : \frac{x^2y-2xy}{4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2-2x}{y^2} \cdot \frac{4}{x^2y-2xy}$

Разложим на множители выражения в числителе первой дроби и знаменателе второй, вынеся общие множители за скобки:
$x^2-2x = x(x-2)$
$x^2y-2xy = xy(x-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{x(x-2)}{y^2} \cdot \frac{4}{xy(x-2)}$

Сократим общие множители $x$ и $(x-2)$:
$\frac{\cancel{x}(\cancel{x-2})}{y^2} \cdot \frac{4}{\cancel{x}y(\cancel{x-2})} = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{4}{y}$

Перемножим оставшиеся части дробей:
$\frac{1 \cdot 4}{y^2 \cdot y} = \frac{4}{y^3}$

Ответ: $\frac{4}{y^3}$

в) $\frac{x^2-y^2}{x^2} : \frac{3x+3y}{x}$

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{x^2-y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{3x+3y}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и знаменатель второй дроби:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
$3x+3y = 3(x+y)$

Получим выражение:
$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x}{3(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $x$:
$\frac{(x-y)(\cancel{x+y})}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{3(\cancel{x+y})} = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{1}{3}$

Перемножим оставшиеся дроби:
$\frac{x-y}{3x}$

Ответ: $\frac{x-y}{3x}$

г) $\frac{xy+x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy+y^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$xy+x^2 = x(y+x)$
$xy+y^2 = y(x+y)$

Подставим в исходное выражение:
$\frac{x(y+x)}{8y} \cdot \frac{2x}{y(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{x(\cancel{x+y})}{\cancel{8}^4y} \cdot \frac{\cancel{2}x}{y(\cancel{x+y})} = \frac{x}{4y} \cdot \frac{x}{y}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{x \cdot x}{4y \cdot y} = \frac{x^2}{4y^2}$

Ответ: $\frac{x^2}{4y^2}$

д) $\frac{b}{c^2-bc} : \frac{b^3}{c^2-b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{b}{c^2-bc} \cdot \frac{c^2-b^2}{b^3}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$c^2-bc = c(c-b)$
$c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$ (разность квадратов)

Подставим в выражение:
$\frac{b}{c(c-b)} \cdot \frac{(c-b)(c+b)}{b^3}$

Сократим общие множители $(c-b)$ и $b$:
$\frac{\cancel{b}}{c(\cancel{c-b})} \cdot \frac{(\cancel{c-b})(c+b)}{b^{\cancel{3}^2}} = \frac{1}{c} \cdot \frac{c+b}{b^2}$

Результат умножения:
$\frac{c+b}{cb^2}$

Ответ: $\frac{c+b}{cb^2}$

е) $\frac{m^2-n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m-3n}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ (разность квадратов)
$3m-3n = 3(m-n)$

Подставим в выражение:
$\frac{(m-n)(m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3(m-n)}$

Сократим общие множители $(m-n)$ и $2mn$:
$\frac{(\cancel{m-n})(m+n)}{\cancel{2mn} \cdot n} \cdot \frac{\cancel{2mn}}{3(\cancel{m-n})} = \frac{m+n}{n} \cdot \frac{1}{3}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{m+n}{3n}$

Ответ: $\frac{m+n}{3n}$

ж) $\frac{a^2b}{a^2-2ab+b^2} : \frac{a}{ab-b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2b}{a^2-2ab+b^2} \cdot \frac{ab-b^2}{a}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ и числитель второй:
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$
$ab-b^2 = b(a-b)$

Подставим в выражение:
$\frac{a^2b}{(a-b)^2} \cdot \frac{b(a-b)}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$:
$\frac{a^{\cancel{2}}b}{(a-b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{b(\cancel{a-b})}{\cancel{a}} = \frac{ab}{a-b} \cdot \frac{b}{1}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{ab^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab^2}{a-b}$

з) $\frac{p^2+2pq+q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2-q^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и знаменатель второй по формуле разности квадратов:
$p^2+2pq+q^2 = (p+q)^2$
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$

Подставим в выражение:
$\frac{(p+q)^2}{2p} \cdot \frac{2p}{(p-q)(p+q)}$

Сократим общие множители $2p$ и $(p+q)$:
$\frac{(p+q)^{\cancel{2}}}{\cancel{2p}} \cdot \frac{\cancel{2p}}{(p-q)(\cancel{p+q})} = \frac{p+q}{1} \cdot \frac{1}{p-q}$

Результат умножения:
$\frac{p+q}{p-q}$

Ответ: $\frac{p+q}{p-q}$

80 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Упростите выражение:

а) $\frac{5x - 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y - x}$;

б) $\frac{a^2 - c^2}{c^2} : \frac{c - a}{c}$;

в) $\frac{a}{ab - b^2} : \frac{a^2}{b^2 - a^2}$;

г) $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 - x^2}$;

д) $\frac{2a^2}{25 - 5a} : \frac{10a}{(a - 5)^2}$;

е) $\frac{m}{3m - 3n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2}$.

Образец. $\frac{x - y}{a} : \frac{y - x}{b} = \frac{x - y}{a} \cdot \frac{b}{y - x} = - \frac{(x - y)b}{a(x - y)} = - \frac{b}{a}.$

а) $\frac{5x - 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y - x}$

Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $5x - 5y$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(x - y)$. В знаменателе $y - x$ вынесем -1 за скобки, чтобы получить выражение $-(x - y)$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное: $$ \frac{5(x - y)}{x} \cdot \frac{2x^2}{-(x - y)} $$

Теперь выполним умножение дробей и сократим общие множители $(x-y)$ и $x$: $$ \frac{5(x - y) \cdot 2x^2}{x \cdot (-(x - y))} = \frac{5 \cdot 2x}{-1} = -10x $$

Ответ: $-10x$

б) $\frac{a^2 - c^2}{c^2} : \frac{c - a}{c}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$ \frac{a^2 - c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c - a} $$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$. Также заметим, что $c-a = -(a-c)$. $$ \frac{(a-c)(a+c)}{c^2} \cdot \frac{c}{-(a-c)} $$

Сократим общие множители $(a-c)$ и $c$: $$ \frac{(a-c)(a+c) \cdot c}{c^2 \cdot (-(a-c))} = \frac{a+c}{-c} = -\frac{a+c}{c} $$

Ответ: $-\frac{a+c}{c}$

в) $\frac{a}{ab - b^2} : \frac{a^2}{b^2 - a^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь. Затем разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй. $$ \frac{a}{ab - b^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2} = \frac{a}{b(a - b)} \cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2} $$

Используем тождество $b-a = -(a-b)$, чтобы упростить сокращение: $$ \frac{a}{b(a - b)} \cdot \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2} $$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$: $$ \frac{a \cdot (-(a-b)(b+a))}{b(a-b) \cdot a^2} = \frac{-(b+a)}{ba} = -\frac{a+b}{ab} $$

Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$

г) $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 - x^2}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$. $$ \frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{(y-x)(y+x)} $$

Заметим, что $(x-y)^2 = (y-x)^2$. Это позволяет нам сократить дробь. $$ \frac{(y-x)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{(y-x)(y+x)} $$

Сократим общие множители $y^2$ и $(y-x)$: $$ \frac{(y-x)^2 \cdot y^2}{y^2 \cdot (y-x)(y+x)} = \frac{y-x}{y+x} $$

Ответ: $\frac{y-x}{y+x}$

д) $\frac{2a^2}{25 - 5a} : \frac{10a}{(a - 5)^2}$

Заменим деление на умножение и вынесем общие множители в знаменателе первой дроби: $25 - 5a = 5(5 - a)$. $$ \frac{2a^2}{5(5 - a)} \cdot \frac{(a - 5)^2}{10a} $$

Используем тождества $5-a = -(a-5)$ и $(a-5)^2 = (5-a)^2$: $$ \frac{2a^2}{5(5 - a)} \cdot \frac{(5-a)^2}{10a} $$

Перемножим дроби и сократим общие множители: $$ \frac{2a^2 \cdot (5-a)^2}{5(5-a) \cdot 10a} = \frac{2a^2(5-a)}{50a} = \frac{a(5-a)}{25} $$

Ответ: $\frac{a(5-a)}{25}$

е) $\frac{m}{3m - 3n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2}$

Вынесем общие множители и разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$. $$ \frac{m}{3(m - n)} \cdot \frac{(n-m)(n+m)}{m^2} $$

Заметим, что $n-m = -(m-n)$. Подставим это в выражение: $$ \frac{m}{3(m - n)} \cdot \frac{-(m-n)(n+m)}{m^2} $$

Сократим общие множители $m$ и $(m-n)$: $$ \frac{m \cdot (-(m-n)(n+m))}{3(m-n) \cdot m^2} = \frac{-(n+m)}{3m} = -\frac{m+n}{3m} $$

Ответ: $-\frac{m+n}{3m}$