Номер 79, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 79, страница 26.

Условие.

79 Выполните действия:

а) $\frac{ac - cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2 - ad}$

б) $\frac{x^2 - 2x}{y^2} \cdot \frac{x^2y - 2xy}{4}$

В) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} \cdot \frac{3x + 3y}{x}$

Г) $\frac{xy + x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy + y^2}$

Д) $\frac{b}{c^2 - bc} : \frac{b^3}{c^2 - b^2}$

е) $\frac{m^2 - n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m - 3n}$

Ж) $\frac{a^2b}{a^2 - 2ab + b^2} : \frac{a}{ab - b^2}$

З) $\frac{p^2 + 2pq + q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2 - q^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{ac-cd}{ad} \cdot \frac{cd}{a^2-ad}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, где это возможно.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac-cd = c(a-d)$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2-ad = a(a-d)$.

Подставим разложенные выражения в пример:
$\frac{c(a-d)}{ad} \cdot \frac{cd}{a(a-d)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(a-d)$ и $d$.
$\frac{c(\cancel{a-d})}{a\cancel{d}} \cdot \frac{c\cancel{d}}{a(\cancel{a-d})} = \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{a}$

Перемножаем оставшиеся части:
$\frac{c \cdot c}{a \cdot a} = \frac{c^2}{a^2}$

Ответ: $\frac{c^2}{a^2}$

---

б) $\frac{x^2-2x}{y^2} : \frac{x^2y-2xy}{4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2-2x}{y^2} \cdot \frac{4}{x^2y-2xy}$

Разложим на множители выражения в числителе первой дроби и знаменателе второй, вынеся общие множители за скобки:
$x^2-2x = x(x-2)$
$x^2y-2xy = xy(x-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{x(x-2)}{y^2} \cdot \frac{4}{xy(x-2)}$

Сократим общие множители $x$ и $(x-2)$:
$\frac{\cancel{x}(\cancel{x-2})}{y^2} \cdot \frac{4}{\cancel{x}y(\cancel{x-2})} = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{4}{y}$

Перемножим оставшиеся части дробей:
$\frac{1 \cdot 4}{y^2 \cdot y} = \frac{4}{y^3}$

Ответ: $\frac{4}{y^3}$

---

в) $\frac{x^2-y^2}{x^2} : \frac{3x+3y}{x}$

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{x^2-y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{3x+3y}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и знаменатель второй дроби:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
$3x+3y = 3(x+y)$

Получим выражение:
$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x}{3(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $x$:
$\frac{(x-y)(\cancel{x+y})}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{3(\cancel{x+y})} = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{1}{3}$

Перемножим оставшиеся дроби:
$\frac{x-y}{3x}$

Ответ: $\frac{x-y}{3x}$

---

г) $\frac{xy+x^2}{8y} \cdot \frac{2x}{xy+y^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$xy+x^2 = x(y+x)$
$xy+y^2 = y(x+y)$

Подставим в исходное выражение:
$\frac{x(y+x)}{8y} \cdot \frac{2x}{y(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{x(\cancel{x+y})}{\cancel{8}^4y} \cdot \frac{\cancel{2}x}{y(\cancel{x+y})} = \frac{x}{4y} \cdot \frac{x}{y}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{x \cdot x}{4y \cdot y} = \frac{x^2}{4y^2}$

Ответ: $\frac{x^2}{4y^2}$

---

д) $\frac{b}{c^2-bc} : \frac{b^3}{c^2-b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{b}{c^2-bc} \cdot \frac{c^2-b^2}{b^3}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$c^2-bc = c(c-b)$
$c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$ (разность квадратов)

Подставим в выражение:
$\frac{b}{c(c-b)} \cdot \frac{(c-b)(c+b)}{b^3}$

Сократим общие множители $(c-b)$ и $b$:
$\frac{\cancel{b}}{c(\cancel{c-b})} \cdot \frac{(\cancel{c-b})(c+b)}{b^{\cancel{3}^2}} = \frac{1}{c} \cdot \frac{c+b}{b^2}$

Результат умножения:
$\frac{c+b}{cb^2}$

Ответ: $\frac{c+b}{cb^2}$

---

е) $\frac{m^2-n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3m-3n}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ (разность квадратов)
$3m-3n = 3(m-n)$

Подставим в выражение:
$\frac{(m-n)(m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{3(m-n)}$

Сократим общие множители $(m-n)$ и $2mn$:
$\frac{(\cancel{m-n})(m+n)}{\cancel{2mn} \cdot n} \cdot \frac{\cancel{2mn}}{3(\cancel{m-n})} = \frac{m+n}{n} \cdot \frac{1}{3}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{m+n}{3n}$

Ответ: $\frac{m+n}{3n}$

---

ж) $\frac{a^2b}{a^2-2ab+b^2} : \frac{a}{ab-b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2b}{a^2-2ab+b^2} \cdot \frac{ab-b^2}{a}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ и числитель второй:
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$
$ab-b^2 = b(a-b)$

Подставим в выражение:
$\frac{a^2b}{(a-b)^2} \cdot \frac{b(a-b)}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$:
$\frac{a^{\cancel{2}}b}{(a-b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{b(\cancel{a-b})}{\cancel{a}} = \frac{ab}{a-b} \cdot \frac{b}{1}$

Перемножим оставшиеся части:
$\frac{ab^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab^2}{a-b}$

---

з) $\frac{p^2+2pq+q^2}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2-q^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и знаменатель второй по формуле разности квадратов:
$p^2+2pq+q^2 = (p+q)^2$
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$

Подставим в выражение:
$\frac{(p+q)^2}{2p} \cdot \frac{2p}{(p-q)(p+q)}$

Сократим общие множители $2p$ и $(p+q)$:
$\frac{(p+q)^{\cancel{2}}}{\cancel{2p}} \cdot \frac{\cancel{2p}}{(p-q)(\cancel{p+q})} = \frac{p+q}{1} \cdot \frac{1}{p-q}$

Результат умножения:
$\frac{p+q}{p-q}$

Ответ: $\frac{p+q}{p-q}$