Номер 83, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 83, страница 27.

Условие.

Выполните умножение или деление (83–84).

83 а) $2x^2y \cdot \frac{x}{y};$

б) $5ab^2 : \frac{a}{b};$

в) $\frac{3a}{4b^2} \cdot 8a^2b^2;$

г) $\frac{12m^2}{n^2} : (6m^2n^2);$

д) $\frac{2a^2}{3b^3} : (6ab);$

е) $18pq^2 \cdot \frac{2p}{9q^6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить умножение, представим одночлен $2x^2y$ в виде дроби со знаменателем 1 и перемножим дроби, умножив числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:
$2x^2y \cdot \frac{x}{y} = \frac{2x^2y}{1} \cdot \frac{x}{y} = \frac{2x^2y \cdot x}{1 \cdot y} = \frac{2x^3y}{y}$.
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $y$:
$\frac{2x^3y}{y} = 2x^3$.
Ответ: $2x^3$.

б) Деление на дробь равносильно умножению на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная к $\frac{a}{b}$, это $\frac{b}{a}$.
$5ab^2 : \frac{a}{b} = 5ab^2 \cdot \frac{b}{a} = \frac{5ab^2}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{5ab^2 \cdot b}{1 \cdot a} = \frac{5ab^3}{a}$.
Сократим полученную дробь на общий множитель $a$:
$\frac{5ab^3}{a} = 5b^3$.
Ответ: $5b^3$.

в) Чтобы умножить дробь на одночлен, умножим числитель дроби на этот одночлен:
$\frac{3a}{4b^2} \cdot 8a^2b^2 = \frac{3a \cdot 8a^2b^2}{4b^2}$.
Выполним умножение в числителе: $3a \cdot 8a^2b^2 = 24a^3b^2$. Получим дробь $\frac{24a^3b^2}{4b^2}$.
Сократим дробь: разделим числовые коэффициенты $24$ на $4$ и сократим $b^2$:
$\frac{24a^3b^2}{4b^2} = 6a^3$.
Ответ: $6a^3$.

г) Чтобы разделить дробь на одночлен, нужно умножить ее на выражение, обратное этому одночлену. Выражение, обратное $6m^2n^2$, это $\frac{1}{6m^2n^2}$.
$\frac{12m^2}{n^2} : (6m^2n^2) = \frac{12m^2}{n^2} \cdot \frac{1}{6m^2n^2} = \frac{12m^2}{n^2 \cdot 6m^2n^2} = \frac{12m^2}{6m^2n^4}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $12$ на $6$ и сократим $m^2$:
$\frac{12m^2}{6m^2n^4} = \frac{2}{n^4}$.
Ответ: $\frac{2}{n^4}$.

д) Чтобы разделить дробь на одночлен, нужно знаменатель дроби умножить на этот одночлен.
$\frac{2a^2}{3b^3} : (6ab) = \frac{2a^2}{3b^3 \cdot 6ab} = \frac{2a^2}{18ab^4}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $2$ и $18$ на $2$, а также сократим переменные $a$:
$\frac{2a^2}{18ab^4} = \frac{a}{9b^4}$.
Ответ: $\frac{a}{9b^4}$.

е) Чтобы умножить одночлен на дробь, нужно этот одночлен умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$18pq^2 \cdot \frac{2p}{9q^6} = \frac{18pq^2 \cdot 2p}{9q^6} = \frac{36p^2q^2}{9q^6}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $36$ на $9$ и сократим степени $q$:
$\frac{36p^2q^2}{9q^6} = \frac{4p^2}{q^{6-2}} = \frac{4p^2}{q^4}$.
Ответ: $\frac{4p^2}{q^4}$.