Номер 88, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 88, страница 28.

Условие.

88 а) $ \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x} $;

б) $ \frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2} $;

В) $ \frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q} $.

Г) $ \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x}$, разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы суммы и разности кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Числитель первой дроби: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Во второй дроби вынесем -1 в числителе, чтобы получить $y - x = -(x - y)$. Знаменатель $y+x$ можно записать как $x+y$.

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-(x - y)}{x + y}$

Теперь сократим общие множители $(x + y)$ в числителе и знаменателе, а также $(x - y)$:

$\frac{\cancel{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-\cancel{(x - y)}}{\cancel{(x + y)}} = -\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2}$. Первым шагом заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} \cdot \frac{x^2 - z^2}{x^3 - x^2z + xz^2}$

Теперь разложим на множители каждую часть выражения:

В числителе первой дроби вынесем 2 за скобки и применим формулу суммы кубов: $2(x^3 + z^3) = 2(x + z)(x^2 - xz + z^2)$.

В знаменателе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $xz - x^2 = x(z - x) = -x(x - z)$.

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов: $x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$.

В знаменателе второй дроби вынесем $x$ за скобки: $x^3 - x^2z + xz^2 = x(x^2 - xz + z^2)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{2(x + z)(x^2 - xz + z^2)}{-x(x - z)} \cdot \frac{(x - z)(x + z)}{x(x^2 - xz + z^2)}$

Сократим общие множители $(x^2 - xz + z^2)$ и $(x - z)$:

$\frac{2(x + z)\cancel{(x^2 - xz + z^2)}}{-x\cancel{(x - z)}} \cdot \frac{\cancel{(x - z)}(x + z)}{x\cancel{(x^2 - xz + z^2)}} = \frac{2(x + z)(x + z)}{-x \cdot x} = -\frac{2(x + z)^2}{x^2}$

Ответ: $-\frac{2(x + z)^2}{x^2}$

в) Упростим выражение $\frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. Для числителя используем формулу разности кубов, а для знаменателя — формулу разности квадратов дважды.

Числитель: $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

Знаменатель: $p^4 - q^4 = (p^2)^2 - (q^2)^2 = (p^2 - q^2)(p^2 + q^2) = (p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$

Сократим множитель $(p-q)$ в числителе и знаменателе первой дроби:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$

Теперь сократим множитель $(p^2+q^2)$:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p + q} \cdot \frac{1}{p - q} = \frac{p^2 + pq + q^2}{(p + q)(p - q)}$

Знаменатель можно свернуть по формуле разности квадратов: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Ответ: $\frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 - q^2}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2}$. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^3 + 8}$

Разложим на множители все числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби (разность квадратов): $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Знаменатель первой дроби (квадрат разности): $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Знаменатель второй дроби (сумма кубов): $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Объединим множители в числителе и знаменателе и произведем сокращение:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Сокращаем общие множители $(x - 2)^2$ и $(x + 2)$:

$\frac{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 + 4)}{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4}$

Ответ: $\frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4}$