Номер 94, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 94, страница 30.

Условие.

94 a) $\left(1 - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \left(1 + \frac{v}{u-v}\right);$

б) $\left(\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z}\right) : \left(\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z}\right);$

в) $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2\right) : \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right);$

г) $\left(\frac{1}{y} - y\right) \cdot \left(\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

Первая скобка: $1 - \frac{u}{u+v} = \frac{1 \cdot (u+v)}{u+v} - \frac{u}{u+v} = \frac{u+v-u}{u+v} = \frac{v}{u+v}$

Вторая скобка: $1 + \frac{v}{u-v} = \frac{1 \cdot (u-v)}{u-v} + \frac{v}{u-v} = \frac{u-v+v}{u-v} = \frac{u}{u-v}$

Теперь перемножим полученные дроби: $\frac{v}{u+v} \cdot \frac{u}{u-v} = \frac{uv}{(u+v)(u-v)}$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для знаменателя, получаем окончательный результат: $\frac{uv}{u^2 - v^2}$

Ответ: $\frac{uv}{u^2-v^2}$

б) Упростим поочередно выражения в скобках, которые являются делимым и делителем.

Делимое (первая скобка): $\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z) - 1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z-x-z}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2}$

Делитель (вторая скобка): $\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z) + 1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z+x+z}{x^2-z^2} = \frac{2x}{x^2-z^2}$

Теперь выполним деление. Деление дробей эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $\frac{-2z}{x^2-z^2} : \frac{2x}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2} \cdot \frac{x^2-z^2}{2x}$

Сокращаем общие множители $(x^2-z^2)$ и $2$: $\frac{-z}{1} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{z}{x}$

Ответ: $-\frac{z}{x}$

в) Упростим выражения в скобках.

Первая скобка (делимое). Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} + \frac{2ab}{ab} = \frac{a^2+2ab+b^2}{ab}$

Числитель является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Таким образом, выражение равно: $\frac{(a+b)^2}{ab}$

Вторая скобка (делитель). Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab}$

Выполним деление: $\frac{(a+b)^2}{ab} : \frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a^2-b^2}$

Сократим $ab$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к знаменателю второй дроби: $\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общий множитель $(a+b)$: $\frac{a+b}{a-b}$

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$

г) Упростим каждое выражение в скобках.

Первая скобка: $\frac{1}{y} - y = \frac{1-y^2}{y}$

Вторая скобка. Общий знаменатель $(y+1)(y-1) = y^2-1$: $\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1} = \frac{1 \cdot (y-1) - 1 \cdot (y+1)}{(y+1)(y-1)} = \frac{y-1-y-1}{y^2-1} = \frac{-2}{y^2-1}$

Теперь выполним умножение: $\left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \left(\frac{-2}{y^2-1}\right)$

Заметим, что $1-y^2 = -(y^2-1)$. Подставим это в выражение: $\frac{-(y^2-1)}{y} \cdot \frac{-2}{y^2-1}$

Сократим общий множитель $(y^2-1)$ и перемножим оставшиеся части: $\frac{-1}{y} \cdot (-2) = \frac{2}{y}$

Ответ: $\frac{2}{y}$