Номер 92, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 92, страница 30.

Условие.

92 а) $(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) : (a + b);$

б) $(x^2 - y^2) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y});$

в) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) : (x - y);$

г) $(a + b)^2 : (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$: $(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) = \frac{b^2}{ab} - \frac{a^2}{ab} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$. Затем разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получим $\frac{(b-a)(b+a)}{ab}$. Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратное число: $\frac{(b-a)(b+a)}{ab} : (a+b) = \frac{(b-a)(b+a)}{ab} \cdot \frac{1}{a+b}$. Сократив общий множитель $(a+b)$, получим итоговый результат. Ответ: $\frac{b-a}{ab}$.

б) Сначала разложим первый двучлен по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Затем упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{y+x}{xy}$. Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $(x-y)(x+y) : \frac{x+y}{xy} = (x-y)(x+y) \cdot \frac{xy}{x+y}$. Сократив общий множитель $(x+y)$, получим результат. Ответ: $(x-y)xy$.

в) Упростим выражение в скобках, приведя все его члены к общему знаменателю $xy$: $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} - \frac{2xy}{xy} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy}$. Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, поэтому выражение можно записать как $\frac{(x-y)^2}{xy}$. Теперь выполним деление: $\frac{(x-y)^2}{xy} : (x-y) = \frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$. Сократив на общий множитель $(x-y)$, получим итоговый результат. Ответ: $\frac{x-y}{xy}$.

г) Упростим выражение во вторых скобках, приведя все дроби к общему знаменателю $a^2b^2$: $(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}) = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{2ab}{a^2b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$. Числитель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, поэтому выражение в скобках равно $\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}$. Теперь выполним деление: $(a+b)^2 : \frac{(a+b)^2}{a^2b^2} = (a+b)^2 \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}$. Сократив на общий множитель $(a+b)^2$, получим окончательный результат. Ответ: $a^2b^2$.