Номер 93, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 93, страница 30.

Условие.

93 a) $ \frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} $

б) $ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m} $

В) $ n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

Г) $ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} $

1. Сначала выполним умножение. Для этого разложим числитель первой дроби и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки, а в знаменателе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$ \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} = \frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{b+1}{a} $

2. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$ и $b+1$):

$ \frac{\cancel{a}(a-b)}{(b-1)(\cancel{b+1})} \cdot \frac{\cancel{b+1}}{\cancel{a}} = \frac{a-b}{b-1} $

3. Теперь выполним сложение с первой дробью. Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{a}{1-b} + \frac{a-b}{b-1} $

4. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $1-b = -(b-1)$. Вынесем минус из знаменателя первой дроби:

$ \frac{a}{-(b-1)} + \frac{a-b}{b-1} = -\frac{a}{b-1} + \frac{a-b}{b-1} $

5. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{-a + (a-b)}{b-1} = \frac{-a+a-b}{b-1} = \frac{-b}{b-1} $

Выражение также можно записать в виде $ \frac{b}{1-b} $.

Ответ: $ \frac{-b}{b-1} $

б) $ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m} $

1. Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} = \frac{m^2-9}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2} $

2. Разложим числитель $ m^2-9 $ по формуле разности квадратов:

$ \frac{(m-3)(m+3)}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2} $

3. Сократим общие множители $m$ и $(m-3)$:

$ \frac{(\cancel{m-3})(m+3)}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{(m-3)^{\cancel{2}}} = \frac{m+3}{m-3} $

4. Теперь выполним сложение:

$ \frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{3-m} $

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $3-m = -(m-3)$.

$ \frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{-(m-3)} = \frac{m+3}{m-3} - \frac{6}{m-3} $

6. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{(m+3)-6}{m-3} = \frac{m-3}{m-3} = 1 $

При этом $ m \ne 0 $ и $ m \ne 3 $.

Ответ: $1$

в) $ n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

1. Сначала выполним умножение дробей. В числителе первой дроби вынесем $n$ за скобки:

$ \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} = \frac{n(n-a)}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

2. Сократим общий множитель $(n-a)$:

$ \frac{n(\cancel{n-a})}{n+a} \cdot \frac{n}{\cancel{n-a}} = \frac{n \cdot n}{n+a} = \frac{n^2}{n+a} $

3. Теперь выполним вычитание:

$ n - \frac{n^2}{n+a} $

4. Приведем $n$ к общему знаменателю $(n+a)$:

$ \frac{n(n+a)}{n+a} - \frac{n^2}{n+a} = \frac{n^2+na}{n+a} - \frac{n^2}{n+a} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{(n^2+na) - n^2}{n+a} = \frac{n^2+na-n^2}{n+a} = \frac{na}{n+a} $

Ответ: $ \frac{na}{n+a} $

г) $ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) $

1. По порядку действий сначала выполняем умножение:

$ \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) = \frac{(v+3)(v+1)}{v-1} = \frac{v^2+v+3v+3}{v-1} = \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

2. Теперь выполним сложение:

$ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю, используя $1-v = -(v-1)$:

$ \frac{v+3}{-(v-1)} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} = -\frac{v+3}{v-1} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

4. Сложим числители:

$ \frac{-(v+3) + (v^2+4v+3)}{v-1} = \frac{-v-3+v^2+4v+3}{v-1} $

5. Упростим числитель:

$ \frac{v^2 + (-v+4v) + (-3+3)}{v-1} = \frac{v^2+3v}{v-1} $

6. Можно вынести общий множитель $v$ в числителе:

$ \frac{v(v+3)}{v-1} $

Ответ: $ \frac{v(v+3)}{v-1} $