Номер 87, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 87, страница 27.

Условие.

87 а) $\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3} : \frac{d^2-c^2}{d^4};$

Б) $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3};$

В) $\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3};$

Г) $\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{(c-d)^2}{cd^2 + d^3} : \frac{d^2 - c^2}{d^4} = \frac{(c-d)^2}{cd^2 + d^3} \cdot \frac{d^4}{d^2 - c^2} $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $d^2$ за скобки: $cd^2 + d^3 = d^2(c+d)$. Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности квадратов: $d^2 - c^2 = (d-c)(d+c)$.
Выражение примет вид: $ \frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)} \cdot \frac{d^4}{(d-c)(d+c)} $.
Заметим, что $d-c = -(c-d)$. Подставим это в выражение: $ \frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)} \cdot \frac{d^4}{-(c-d)(c+d)} $.
Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(c-d)$ в числителе и знаменателе, а также $d^2$ в числителе и знаменателе: $ \frac{c-d}{c+d} \cdot \frac{d^2}{-(c+d)} $.
Перемножим оставшиеся дроби: $ -\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2} $.

Ответ: $ -\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3} $.
Используем свойство $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3$.
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{-(a-b)^3}{3(a+b)^3} $.
Запишем все под одной чертой дроби, вынеся знак минус вперед: $ -\frac{(a+b)^2 \cdot (a-b)^3}{(a-b)^2 \cdot 3(a+b)^3} $.
Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ -\frac{(a-b)^{3-2}}{3(a+b)^{3-2}} = -\frac{a-b}{3(a+b)} $.

Ответ: $ -\frac{a-b}{3(a+b)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3} $.
Вынесем общие множители из каждой скобки: $ \frac{2(z-y)}{(2(z+y))^2} \cdot \frac{(2(y+z))^3}{(2(y-z))^3} $.
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $ \frac{2(z-y)}{2^2(z+y)^2} \cdot \frac{2^3(y+z)^3}{2^3(y-z)^3} = \frac{2(z-y)}{4(z+y)^2} \cdot \frac{8(y+z)^3}{8(y-z)^3} $.
Заметим, что $y+z=z+y$ и $y-z = -(z-y)$, следовательно, $(y-z)^3 = -(z-y)^3$.
Подставим в выражение: $ \frac{2(z-y)}{4(z+y)^2} \cdot \frac{8(z+y)^3}{-8(z-y)^3} $.
Сократим числовые коэффициенты и переменные: $ \frac{2 \cdot 8}{4 \cdot (-8)} \cdot \frac{(z-y)(z+y)^3}{(z+y)^2(z-y)^3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{z+y}{(z-y)^2} $.
Запишем окончательный результат: $ -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $.

Ответ: $ -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $.

г)

Чтобы разделить дроби, заменим деление на умножение обратной дроби: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} : \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{(3-3x)^2}{(4-2x)^3} $.
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе второй дроби: $ (3-3x)^2 = (3(1-x))^2 = 3^2(1-x)^2 = 9(1-x)^2 $.
$ (4-2x)^3 = (2(2-x))^3 = 2^3(2-x)^3 = 8(2-x)^3 $.
Выражение примет вид: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(1-x)^2}{8(2-x)^3} $.
Используем тождества $(1-x)^2 = (x-1)^2$ и $(2-x)^3 = (-(x-2))^3 = -(x-2)^3$: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(x-1)^2}{-8(x-2)^3} $.
Сократим общие множители $(x-1)^2$ в числителе и знаменателе. Также сократим $(x-2)^2$: $ \frac{9}{-8(x-2)} $.
Это можно записать как: $ -\frac{9}{8(x-2)} $ или $ \frac{9}{8(2-x)} $.

Ответ: $ -\frac{9}{8(x-2)} $.