Номер 89, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 89, страница 28.

Условие.

89 a) $ \frac{n - n^2}{2 + n} \cdot \frac{1}{2n - n^2} \cdot \frac{n^2 - 4}{n - 1} $

б) $ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{x + y}{x^3 - y^3} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{n - n^2}{2 + n} \cdot \frac{1}{2n - n^2} \cdot \frac{n^2 - 4}{n - 1} $

Для упрощения данного выражения разложим числители и знаменатели дробей на множители. Мы будем использовать вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$n - n^2 = n(1 - n) = -n(n - 1)$
$2n - n^2 = n(2 - n) = -n(n - 2)$
$n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)$

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{-n(n - 1)}{n + 2} \cdot \frac{1}{-n(n - 2)} \cdot \frac{(n - 2)(n + 2)}{n - 1} $

Объединим все дроби в одну, перемножив числители и знаменатели, а затем сократим общие множители:

$ \frac{-n(n - 1)(n - 2)(n + 2)}{(n + 2)(-n(n - 2))(n - 1)} = \frac{\cancel{-n}\cancel{(n - 1)}\cancel{(n - 2)}\cancel{(n + 2)}}{(\cancel{n + 2})(\cancel{-n})(\cancel{n - 2})(\cancel{n - 1})} $

После сокращения всех общих множителей в числителе и знаменателе остается 1.

Ответ: $1$

---

б) $ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{x + y}{x^3 - y^3} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

Первым шагом заменим операцию деления на умножение, перевернув дробь, на которую делим:

$ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

Далее разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ и формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Также преобразуем выражение в знаменателе последней дроби: $ (y - x)^3 = (-(x - y))^3 = -(x - y)^3 $.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$(y - x)^3 = -(x - y)^3$

Подставляем разложенные выражения:

$ \frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{1}{-(x - y)^3} $

Объединяем все в одну дробь и выполняем сокращение общих множителей:

$ \frac{(x - y)(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x^2 + xy + y^2)(x + y)(-(x - y)^3)} = \frac{(x - y)^2(x + y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x - y)^3} $

Сокращаем общие множители $ (x + y) $, $ (x^2 + xy + y^2) $ и $ (x - y)^2 $. В знаменателе останется $ -(x - y) $.

$ \frac{\cancel{(x - y)^2}\cancel{(x + y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{-\cancel{(x + y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}(x - y)^{\cancel{3}}} = \frac{1}{-(x - y)} $

Упростим полученное выражение, внеся минус в знаменатель:

$ \frac{1}{-(x - y)} = \frac{1}{y - x} $

Ответ: $\frac{1}{y - x}$