Номер 91, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 91, страница 30.

Условие.

Упростите выражение (91–94).

91 а) $ \frac{xy}{x-y} \cdot \left(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}\right); $

б) $ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \cdot \left(\frac{2}{m} - \frac{2}{n}\right); $

В) $ \left(a - \frac{6a-4}{a+2}\right) \cdot \frac{a+2}{a^2-2a}; $

Г) $ \left(\frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \frac{u^2+uv}{2v}; $

Д) $ \left(\frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d}\right) : \frac{c^2+d^2}{c-d}; $

е) $ \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b}\right) : \frac{a+b}{a^2b^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $ \frac{xy}{x-y} \cdot \left( \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} \right) $.
1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:
$ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} $.
2. Разложим числитель $x^2 - y^2$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение в скобках становится равным $ \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} $.
3. Подставим это обратно в исходное выражение и выполним умножение:
$ \frac{xy}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} $.
4. Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$:
$ \frac{\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} \cdot \frac{(\cancel{x-y})(x+y)}{x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} = \frac{x+y}{xy} $.
Ответ: $ \frac{x+y}{xy} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \cdot \left( \frac{2}{m} - \frac{2}{n} \right) $.
1. Упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель 2 и приведем дроби к общему знаменателю $mn$:
$ \frac{2}{m} - \frac{2}{n} = 2 \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right) = 2 \left( \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} \right) = \frac{2(n-m)}{mn} $.
2. Разложим знаменатель первой дроби $n^2 - m^2$ по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$.
3. Перемножим полученные выражения:
$ \frac{mn^2}{(n-m)(n+m)} \cdot \frac{2(n-m)}{mn} $.
4. Сократим общие множители $(n-m)$, $m$ и $n$:
$ \frac{\cancel{m}n^{\cancel{2}}}{(\cancel{n-m})(n+m)} \cdot \frac{2(\cancel{n-m})}{\cancel{m}\cancel{n}} = \frac{2n}{n+m} $.
Ответ: $ \frac{2n}{n+m} $.

в) Исходное выражение: $ \left( a - \frac{6a-4}{a+2} \right) \cdot \frac{a+2}{a^2-2a} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(a+2)$:
$ a - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(6a-4)}{a+2} = \frac{a^2-4a+4}{a+2} $.
2. Числитель $a^2-4a+4$ является полным квадратом: $(a-2)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(a-2)^2}{a+2} $.
3. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2-2a = a(a-2)$.
4. Выполним умножение:
$ \frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a(a-2)} $.
5. Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:
$ \frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+2}} \cdot \frac{\cancel{a+2}}{a(\cancel{a-2})} = \frac{a-2}{a} $.
Ответ: $ \frac{a-2}{a} $.

г) Исходное выражение: $ \left( \frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v} \right) \cdot \frac{u^2+uv}{2v} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$:
$ \frac{u(u+v) - u(u-v)}{(u-v)(u+v)} = \frac{u^2+uv - u^2+uv}{u^2-v^2} = \frac{2uv}{u^2-v^2} $.
2. Разложим числитель второй дроби на множители: $u^2+uv = u(u+v)$.
3. Выполним умножение, предварительно разложив знаменатель первой дроби:
$ \frac{2uv}{(u-v)(u+v)} \cdot \frac{u(u+v)}{2v} $.
4. Сократим общие множители $(u+v)$ и $2v$:
$ \frac{\cancel{2}u\cancel{v}}{(u-v)(\cancel{u+v})} \cdot \frac{u(\cancel{u+v})}{\cancel{2}\cancel{v}} = \frac{u \cdot u}{u-v} = \frac{u^2}{u-v} $.
Ответ: $ \frac{u^2}{u-v} $.

д) Исходное выражение: $ \left( \frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d} \right) : \frac{c^2+d^2}{c-d} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $d(c-d)$:
$ \frac{(c-d)(c-d) + 2c \cdot d}{d(c-d)} = \frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} $.
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} \cdot \frac{c-d}{c^2+d^2} $.
3. Сократим общие множители $(c^2+d^2)$ и $(c-d)$:
$ \frac{\cancel{c^2+d^2}}{d(\cancel{c-d})} \cdot \frac{\cancel{c-d}}{\cancel{c^2+d^2}} = \frac{1}{d} $.
Ответ: $ \frac{1}{d} $.

е) Исходное выражение: $ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b} \right) : \frac{a+b}{a^2b^2} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$ и вынеся общий множитель $(a+b)$:
$ \frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab} $.
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a+b} $.
3. Сократим общие множители $(a+b)$ и $ab$:
$ \frac{(\cancel{a+b})(b-a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}{\cancel{a+b}} = (b-a) \cdot ab = ab(b-a) $.
Ответ: $ ab(b-a) $.