Номер 97, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 97, страница 31.

Условие.

97 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$

б) $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$

в) $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$

г) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

д) $\frac{\frac{1}{a} - b}{\frac{1}{b} - a}$

е) $\frac{u - 3}{\frac{u}{v} - \frac{3}{uv}}$

Образец. $\frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{b}{a} + 1} = \frac{\left(\frac{a}{b} + 1\right) ab}{\left(\frac{b}{a} + 1\right) ab} = \frac{a^2 + ab}{b^2 + ab} = \frac{a(a + b)}{b(a + b)} = \frac{a}{b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$, умножим его числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей всех "маленьких" дробей, то есть на НОК(3, 2) = 6. Это позволит избавиться от многоэтажности дроби.

$\frac{(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) \cdot 6}{(2 - \frac{1}{3}) \cdot 6} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 6}{2 \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot 6} = \frac{4 - 3}{12 - 2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б)

Для упрощения выражения $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$, умножим числитель и знаменатель основной дроби на знаменатель внутренней дроби, то есть на $q$.

$\frac{(3 + \frac{p}{q}) \cdot q}{(3 - \frac{p}{q}) \cdot q} = \frac{3 \cdot q + \frac{p}{q} \cdot q}{3 \cdot q - \frac{p}{q} \cdot q} = \frac{3q + p}{3q - p}$

Ответ: $\frac{3q + p}{3q - p}$.

в)

В выражении $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$ умножим числитель и знаменатель на $y$, чтобы упростить его.

$\frac{(\frac{1}{y} - x) \cdot y}{(\frac{1}{y} + x) \cdot y} = \frac{\frac{1}{y} \cdot y - x \cdot y}{\frac{1}{y} \cdot y + x \cdot y} = \frac{1 - xy}{1 + xy}$

Ответ: $\frac{1 - xy}{1 + xy}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$, умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей $x$ и $y$, то есть на $xy$.

$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot xy}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \cdot xy} = \frac{\frac{x}{y} \cdot xy - \frac{y}{x} \cdot xy}{\frac{x}{y} \cdot xy + \frac{y}{x} \cdot xy} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.

д)

Для упрощения дроби $\frac{\frac{1}{a} - b}{\frac{1}{b} - a}$ умножим числитель и знаменатель на $ab$.

$\frac{(\frac{1}{a} - b) \cdot ab}{(\frac{1}{b} - a) \cdot ab} = \frac{\frac{1}{a} \cdot ab - b \cdot ab}{\frac{1}{b} \cdot ab - a \cdot ab} = \frac{b - ab^2}{a - a^2b}$

Теперь вынесем общий множитель в числителе ($b$) и в знаменателе ($a$):

$\frac{b(1 - ab)}{a(1 - ab)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - ab)$, при условии что $1 - ab \ne 0$.

$\frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$.

е)

В выражении $\frac{u - 3}{\frac{1}{v} - \frac{3}{uv}}$ умножим числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель дробей в знаменателе, то есть на $uv$.

$\frac{(u - 3) \cdot uv}{(\frac{1}{v} - \frac{3}{uv}) \cdot uv} = \frac{uv(u - 3)}{\frac{1}{v} \cdot uv - \frac{3}{uv} \cdot uv} = \frac{uv(u - 3)}{u - 3}$

Сократим дробь на общий множитель $(u-3)$, при условии что $u-3 \ne 0$.

$uv$

Ответ: $uv$.