Номер 96, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 96, страница 30.

Условие.

96 Упростите выражение:

а) $\left(c + \frac{1}{c}\right)^2 - 2;$

б) $\left(m - \frac{2}{m}\right)^2 - \left(m + \frac{2}{m}\right)^2;$

в) $\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 - \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\right);$

г) $\left(a + \frac{a+1}{a}\right)^2 - \left(a - \frac{a+1}{a}\right)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения данного выражения используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в выражении $(c + \frac{1}{c})^2$:

$(c + \frac{1}{c})^2 - 2 = (c^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2) - 2$

Упростим полученное выражение, сократив $c$ и $\frac{1}{c}$ в удвоенном произведении и вычтя 2:

$c^2 + 2 + \frac{1}{c^2} - 2 = c^2 + \frac{1}{c^2}$

Ответ: $c^2 + \frac{1}{c^2}$

б) Данное выражение представляет собой разность квадратов, для упрощения которой используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = m - \frac{2}{m}$ и $y = m + \frac{2}{m}$.

$(m - \frac{2}{m})^2 - (m + \frac{2}{m})^2 = ((m - \frac{2}{m}) - (m + \frac{2}{m}))((m - \frac{2}{m}) + (m + \frac{2}{m}))$

Упростим каждую из скобок:

Первая скобка: $(m - \frac{2}{m} - m - \frac{2}{m}) = -\frac{2}{m} - \frac{2}{m} = -\frac{4}{m}$

Вторая скобка: $(m - \frac{2}{m} + m + \frac{2}{m}) = m+m = 2m$

Перемножим результаты:

$(-\frac{4}{m}) \cdot (2m) = -8$

Ответ: $-8$

в) Сначала раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В данном случае $a = \frac{x}{y}$ и $b = \frac{y}{x}$.

$(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y})^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}) - (\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2})$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} - \frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2} = 2$

Ответ: $2$

г) Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x = a + \frac{a+1}{a}$ и $y = a - \frac{a+1}{a}$.

$(a + \frac{a+1}{a})^2 - (a - \frac{a+1}{a})^2 = ((a + \frac{a+1}{a}) - (a - \frac{a+1}{a}))((a + \frac{a+1}{a}) + (a - \frac{a+1}{a}))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $a + \frac{a+1}{a} - (a - \frac{a+1}{a}) = a + \frac{a+1}{a} - a + \frac{a+1}{a} = 2 \cdot \frac{a+1}{a} = \frac{2(a+1)}{a}$

Вторая скобка: $a + \frac{a+1}{a} + a - \frac{a+1}{a} = 2a$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{2(a+1)}{a} \cdot 2a = 4(a+1) = 4a + 4$

Ответ: $4a+4$