Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упростите выражение (91–94).

91 а) $ \frac{xy}{x-y} \cdot \left(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}\right); $

б) $ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \cdot \left(\frac{2}{m} - \frac{2}{n}\right); $

В) $ \left(a - \frac{6a-4}{a+2}\right) \cdot \frac{a+2}{a^2-2a}; $

Г) $ \left(\frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \frac{u^2+uv}{2v}; $

Д) $ \left(\frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d}\right) : \frac{c^2+d^2}{c-d}; $

е) $ \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b}\right) : \frac{a+b}{a^2b^2}. $

а) Исходное выражение: $ \frac{xy}{x-y} \cdot \left( \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} \right) $.
1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:
$ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} $.
2. Разложим числитель $x^2 - y^2$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение в скобках становится равным $ \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} $.
3. Подставим это обратно в исходное выражение и выполним умножение:
$ \frac{xy}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} $.
4. Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$:
$ \frac{\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} \cdot \frac{(\cancel{x-y})(x+y)}{x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} = \frac{x+y}{xy} $.
Ответ: $ \frac{x+y}{xy} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{mn^2}{n^2-m^2} \cdot \left( \frac{2}{m} - \frac{2}{n} \right) $.
1. Упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель 2 и приведем дроби к общему знаменателю $mn$:
$ \frac{2}{m} - \frac{2}{n} = 2 \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right) = 2 \left( \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} \right) = \frac{2(n-m)}{mn} $.
2. Разложим знаменатель первой дроби $n^2 - m^2$ по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$.
3. Перемножим полученные выражения:
$ \frac{mn^2}{(n-m)(n+m)} \cdot \frac{2(n-m)}{mn} $.
4. Сократим общие множители $(n-m)$, $m$ и $n$:
$ \frac{\cancel{m}n^{\cancel{2}}}{(\cancel{n-m})(n+m)} \cdot \frac{2(\cancel{n-m})}{\cancel{m}\cancel{n}} = \frac{2n}{n+m} $.
Ответ: $ \frac{2n}{n+m} $.

в) Исходное выражение: $ \left( a - \frac{6a-4}{a+2} \right) \cdot \frac{a+2}{a^2-2a} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(a+2)$:
$ a - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{6a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(6a-4)}{a+2} = \frac{a^2-4a+4}{a+2} $.
2. Числитель $a^2-4a+4$ является полным квадратом: $(a-2)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(a-2)^2}{a+2} $.
3. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2-2a = a(a-2)$.
4. Выполним умножение:
$ \frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a(a-2)} $.
5. Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:
$ \frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+2}} \cdot \frac{\cancel{a+2}}{a(\cancel{a-2})} = \frac{a-2}{a} $.
Ответ: $ \frac{a-2}{a} $.

г) Исходное выражение: $ \left( \frac{u}{u-v} - \frac{u}{u+v} \right) \cdot \frac{u^2+uv}{2v} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$:
$ \frac{u(u+v) - u(u-v)}{(u-v)(u+v)} = \frac{u^2+uv - u^2+uv}{u^2-v^2} = \frac{2uv}{u^2-v^2} $.
2. Разложим числитель второй дроби на множители: $u^2+uv = u(u+v)$.
3. Выполним умножение, предварительно разложив знаменатель первой дроби:
$ \frac{2uv}{(u-v)(u+v)} \cdot \frac{u(u+v)}{2v} $.
4. Сократим общие множители $(u+v)$ и $2v$:
$ \frac{\cancel{2}u\cancel{v}}{(u-v)(\cancel{u+v})} \cdot \frac{u(\cancel{u+v})}{\cancel{2}\cancel{v}} = \frac{u \cdot u}{u-v} = \frac{u^2}{u-v} $.
Ответ: $ \frac{u^2}{u-v} $.

д) Исходное выражение: $ \left( \frac{c-d}{d} + \frac{2c}{c-d} \right) : \frac{c^2+d^2}{c-d} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $d(c-d)$:
$ \frac{(c-d)(c-d) + 2c \cdot d}{d(c-d)} = \frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} $.
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{c^2+d^2}{d(c-d)} \cdot \frac{c-d}{c^2+d^2} $.
3. Сократим общие множители $(c^2+d^2)$ и $(c-d)$:
$ \frac{\cancel{c^2+d^2}}{d(\cancel{c-d})} \cdot \frac{\cancel{c-d}}{\cancel{c^2+d^2}} = \frac{1}{d} $.
Ответ: $ \frac{1}{d} $.

е) Исходное выражение: $ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b} \right) : \frac{a+b}{a^2b^2} $.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$ и вынеся общий множитель $(a+b)$:
$ \frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab} $.
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a+b} $.
3. Сократим общие множители $(a+b)$ и $ab$:
$ \frac{(\cancel{a+b})(b-a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}{\cancel{a+b}} = (b-a) \cdot ab = ab(b-a) $.
Ответ: $ ab(b-a) $.

92 а) $(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) : (a + b);$

б) $(x^2 - y^2) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y});$

в) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) : (x - y);$

г) $(a + b)^2 : (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}).$

а) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$: $(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) = \frac{b^2}{ab} - \frac{a^2}{ab} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$. Затем разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получим $\frac{(b-a)(b+a)}{ab}$. Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратное число: $\frac{(b-a)(b+a)}{ab} : (a+b) = \frac{(b-a)(b+a)}{ab} \cdot \frac{1}{a+b}$. Сократив общий множитель $(a+b)$, получим итоговый результат. Ответ: $\frac{b-a}{ab}$.

б) Сначала разложим первый двучлен по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Затем упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{y+x}{xy}$. Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $(x-y)(x+y) : \frac{x+y}{xy} = (x-y)(x+y) \cdot \frac{xy}{x+y}$. Сократив общий множитель $(x+y)$, получим результат. Ответ: $(x-y)xy$.

в) Упростим выражение в скобках, приведя все его члены к общему знаменателю $xy$: $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} - \frac{2xy}{xy} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy}$. Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, поэтому выражение можно записать как $\frac{(x-y)^2}{xy}$. Теперь выполним деление: $\frac{(x-y)^2}{xy} : (x-y) = \frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$. Сократив на общий множитель $(x-y)$, получим итоговый результат. Ответ: $\frac{x-y}{xy}$.

г) Упростим выражение во вторых скобках, приведя все дроби к общему знаменателю $a^2b^2$: $(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}) = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{2ab}{a^2b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$. Числитель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, поэтому выражение в скобках равно $\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}$. Теперь выполним деление: $(a+b)^2 : \frac{(a+b)^2}{a^2b^2} = (a+b)^2 \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}$. Сократив на общий множитель $(a+b)^2$, получим окончательный результат. Ответ: $a^2b^2$.

93 a) $ \frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} $

б) $ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m} $

В) $ n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

Г) $ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) $

а) $ \frac{a}{1-b} + \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} $

1. Сначала выполним умножение. Для этого разложим числитель первой дроби и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки, а в знаменателе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$ \frac{a^2-ab}{b^2-1} \cdot \frac{b+1}{a} = \frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{b+1}{a} $

2. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$ и $b+1$):

$ \frac{\cancel{a}(a-b)}{(b-1)(\cancel{b+1})} \cdot \frac{\cancel{b+1}}{\cancel{a}} = \frac{a-b}{b-1} $

3. Теперь выполним сложение с первой дробью. Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{a}{1-b} + \frac{a-b}{b-1} $

4. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $1-b = -(b-1)$. Вынесем минус из знаменателя первой дроби:

$ \frac{a}{-(b-1)} + \frac{a-b}{b-1} = -\frac{a}{b-1} + \frac{a-b}{b-1} $

5. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{-a + (a-b)}{b-1} = \frac{-a+a-b}{b-1} = \frac{-b}{b-1} $

Выражение также можно записать в виде $ \frac{b}{1-b} $.

Ответ: $ \frac{-b}{b-1} $

б) $ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} + \frac{6}{3-m} $

1. Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{m^2-9}{m} : \frac{(m-3)^2}{m} = \frac{m^2-9}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2} $

2. Разложим числитель $ m^2-9 $ по формуле разности квадратов:

$ \frac{(m-3)(m+3)}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2} $

3. Сократим общие множители $m$ и $(m-3)$:

$ \frac{(\cancel{m-3})(m+3)}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{(m-3)^{\cancel{2}}} = \frac{m+3}{m-3} $

4. Теперь выполним сложение:

$ \frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{3-m} $

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $3-m = -(m-3)$.

$ \frac{m+3}{m-3} + \frac{6}{-(m-3)} = \frac{m+3}{m-3} - \frac{6}{m-3} $

6. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{(m+3)-6}{m-3} = \frac{m-3}{m-3} = 1 $

При этом $ m \ne 0 $ и $ m \ne 3 $.

Ответ: $1$

в) $ n - \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

1. Сначала выполним умножение дробей. В числителе первой дроби вынесем $n$ за скобки:

$ \frac{n^2-na}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} = \frac{n(n-a)}{n+a} \cdot \frac{n}{n-a} $

2. Сократим общий множитель $(n-a)$:

$ \frac{n(\cancel{n-a})}{n+a} \cdot \frac{n}{\cancel{n-a}} = \frac{n \cdot n}{n+a} = \frac{n^2}{n+a} $

3. Теперь выполним вычитание:

$ n - \frac{n^2}{n+a} $

4. Приведем $n$ к общему знаменателю $(n+a)$:

$ \frac{n(n+a)}{n+a} - \frac{n^2}{n+a} = \frac{n^2+na}{n+a} - \frac{n^2}{n+a} $

5. Выполним вычитание числителей:

$ \frac{(n^2+na) - n^2}{n+a} = \frac{n^2+na-n^2}{n+a} = \frac{na}{n+a} $

Ответ: $ \frac{na}{n+a} $

г) $ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) $

1. По порядку действий сначала выполняем умножение:

$ \frac{v+3}{v-1} \cdot (v+1) = \frac{(v+3)(v+1)}{v-1} = \frac{v^2+v+3v+3}{v-1} = \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

2. Теперь выполним сложение:

$ \frac{v+3}{1-v} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю, используя $1-v = -(v-1)$:

$ \frac{v+3}{-(v-1)} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} = -\frac{v+3}{v-1} + \frac{v^2+4v+3}{v-1} $

4. Сложим числители:

$ \frac{-(v+3) + (v^2+4v+3)}{v-1} = \frac{-v-3+v^2+4v+3}{v-1} $

5. Упростим числитель:

$ \frac{v^2 + (-v+4v) + (-3+3)}{v-1} = \frac{v^2+3v}{v-1} $

6. Можно вынести общий множитель $v$ в числителе:

$ \frac{v(v+3)}{v-1} $

Ответ: $ \frac{v(v+3)}{v-1} $

94 a) $\left(1 - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \left(1 + \frac{v}{u-v}\right);$

б) $\left(\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z}\right) : \left(\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z}\right);$

в) $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2\right) : \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right);$

г) $\left(\frac{1}{y} - y\right) \cdot \left(\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1}\right).$

а) Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

Первая скобка: $1 - \frac{u}{u+v} = \frac{1 \cdot (u+v)}{u+v} - \frac{u}{u+v} = \frac{u+v-u}{u+v} = \frac{v}{u+v}$

Вторая скобка: $1 + \frac{v}{u-v} = \frac{1 \cdot (u-v)}{u-v} + \frac{v}{u-v} = \frac{u-v+v}{u-v} = \frac{u}{u-v}$

Теперь перемножим полученные дроби: $\frac{v}{u+v} \cdot \frac{u}{u-v} = \frac{uv}{(u+v)(u-v)}$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для знаменателя, получаем окончательный результат: $\frac{uv}{u^2 - v^2}$

Ответ: $\frac{uv}{u^2-v^2}$

б) Упростим поочередно выражения в скобках, которые являются делимым и делителем.

Делимое (первая скобка): $\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z) - 1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z-x-z}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2}$

Делитель (вторая скобка): $\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z) + 1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z+x+z}{x^2-z^2} = \frac{2x}{x^2-z^2}$

Теперь выполним деление. Деление дробей эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $\frac{-2z}{x^2-z^2} : \frac{2x}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2} \cdot \frac{x^2-z^2}{2x}$

Сокращаем общие множители $(x^2-z^2)$ и $2$: $\frac{-z}{1} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{z}{x}$

Ответ: $-\frac{z}{x}$

в) Упростим выражения в скобках.

Первая скобка (делимое). Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} + \frac{2ab}{ab} = \frac{a^2+2ab+b^2}{ab}$

Числитель является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Таким образом, выражение равно: $\frac{(a+b)^2}{ab}$

Вторая скобка (делитель). Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab}$

Выполним деление: $\frac{(a+b)^2}{ab} : \frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a^2-b^2}$

Сократим $ab$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к знаменателю второй дроби: $\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общий множитель $(a+b)$: $\frac{a+b}{a-b}$

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$

г) Упростим каждое выражение в скобках.

Первая скобка: $\frac{1}{y} - y = \frac{1-y^2}{y}$

Вторая скобка. Общий знаменатель $(y+1)(y-1) = y^2-1$: $\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1} = \frac{1 \cdot (y-1) - 1 \cdot (y+1)}{(y+1)(y-1)} = \frac{y-1-y-1}{y^2-1} = \frac{-2}{y^2-1}$

Теперь выполним умножение: $\left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \left(\frac{-2}{y^2-1}\right)$

Заметим, что $1-y^2 = -(y^2-1)$. Подставим это в выражение: $\frac{-(y^2-1)}{y} \cdot \frac{-2}{y^2-1}$

Сократим общий множитель $(y^2-1)$ и перемножим оставшиеся части: $\frac{-1}{y} \cdot (-2) = \frac{2}{y}$

Ответ: $\frac{2}{y}$

95 Выполните возведение в квадрат:

а) $(a + \frac{1}{a})^2$; в) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$;

б) $(n - \frac{1}{n})^2$; г) $(\frac{1}{2x} - x)^2$.

Подсказка. Можно воспользоваться формулами $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого в каждом случае определите, какое выражение надо подставить в формулу вместо $a$ и какое — вместо $b$, и примените формулу.

а) Для возведения в квадрат выражения $(a + \frac{1}{a})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае первый член $x=a$, а второй член $y=\frac{1}{a}$.

Подставляем эти значения в формулу и выполняем преобразования:

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot \frac{a}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.

Ответ: $a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.

б) Для выражения $(n - \frac{1}{n})^2$ применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=n$ и $y=\frac{1}{n}$.

Подставляем в формулу и упрощаем:

$(n - \frac{1}{n})^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2 = n^2 - 2 \cdot \frac{n}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.

Ответ: $n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.

в) Для возведения в квадрат выражения $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$ снова используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В этом примере $x=\frac{a}{b}$ и $y=\frac{b}{a}$.

Подставляем и вычисляем:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{ab}{ba} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.

г) Для выражения $(\frac{1}{2x} - x)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь первый член $x=\frac{1}{2x}$, а второй член $y=x$.

Подставляем значения в формулу и упрощаем результат:

$(\frac{1}{2x} - x)^2 = (\frac{1}{2x})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x + x^2 = \frac{1^2}{(2x)^2} - \frac{2x}{2x} + x^2 = \frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.

96 Упростите выражение:

а) $\left(c + \frac{1}{c}\right)^2 - 2;$

б) $\left(m - \frac{2}{m}\right)^2 - \left(m + \frac{2}{m}\right)^2;$

в) $\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 - \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\right);$

г) $\left(a + \frac{a+1}{a}\right)^2 - \left(a - \frac{a+1}{a}\right)^2.$

а) Для упрощения данного выражения используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в выражении $(c + \frac{1}{c})^2$:

$(c + \frac{1}{c})^2 - 2 = (c^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2) - 2$

Упростим полученное выражение, сократив $c$ и $\frac{1}{c}$ в удвоенном произведении и вычтя 2:

$c^2 + 2 + \frac{1}{c^2} - 2 = c^2 + \frac{1}{c^2}$

Ответ: $c^2 + \frac{1}{c^2}$

б) Данное выражение представляет собой разность квадратов, для упрощения которой используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = m - \frac{2}{m}$ и $y = m + \frac{2}{m}$.

$(m - \frac{2}{m})^2 - (m + \frac{2}{m})^2 = ((m - \frac{2}{m}) - (m + \frac{2}{m}))((m - \frac{2}{m}) + (m + \frac{2}{m}))$

Упростим каждую из скобок:

Первая скобка: $(m - \frac{2}{m} - m - \frac{2}{m}) = -\frac{2}{m} - \frac{2}{m} = -\frac{4}{m}$

Вторая скобка: $(m - \frac{2}{m} + m + \frac{2}{m}) = m+m = 2m$

Перемножим результаты:

$(-\frac{4}{m}) \cdot (2m) = -8$

Ответ: $-8$

в) Сначала раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В данном случае $a = \frac{x}{y}$ и $b = \frac{y}{x}$.

$(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y})^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}) - (\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2})$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} - \frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2} = 2$

Ответ: $2$

г) Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x = a + \frac{a+1}{a}$ и $y = a - \frac{a+1}{a}$.

$(a + \frac{a+1}{a})^2 - (a - \frac{a+1}{a})^2 = ((a + \frac{a+1}{a}) - (a - \frac{a+1}{a}))((a + \frac{a+1}{a}) + (a - \frac{a+1}{a}))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $a + \frac{a+1}{a} - (a - \frac{a+1}{a}) = a + \frac{a+1}{a} - a + \frac{a+1}{a} = 2 \cdot \frac{a+1}{a} = \frac{2(a+1)}{a}$

Вторая скобка: $a + \frac{a+1}{a} + a - \frac{a+1}{a} = 2a$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{2(a+1)}{a} \cdot 2a = 4(a+1) = 4a + 4$

Ответ: $4a+4$