Страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

120 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}} $;

б) $ \frac{5^{2} \cdot 10^{-2}}{2^{-3}} $;

в) $ \frac{8^{-1}}{6^{2} \cdot 4^{-3}} $;

г) $ \frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}} $.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это означает, что число в отрицательной степени в числителе можно перенести в знаменатель, изменив знак степени на положительный, и наоборот.
$\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}} = \frac{3 \cdot 4^1}{2^3}$
Теперь вычислим значения степеней:
$4^1 = 4$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8}$
Сократим дробь на 4:
$\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}}$.
Сначала избавимся от отрицательных степеней, переместив множители между числителем и знаменателем:
$\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}} = \frac{5^2 \cdot 2^3}{10^2}$
Теперь представим число 10 в знаменателе как произведение простых множителей $10 = 2 \cdot 5$. Тогда $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
$\frac{5^2 \cdot 2^3}{2^2 \cdot 5^2}$
Сократим одинаковые множители ($5^2$) в числителе и знаменателе. Также применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
Ответ: 2

в) Найдем значение выражения $\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}}$.
Перенесем множители с отрицательными степенями:
$\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}} = \frac{4^3}{6^2 \cdot 8^1}$
Для упрощения представим основания степеней 4, 6 и 8 через их простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$.
$\frac{(2^2)^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot 2^3}$
Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3}}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3} = \frac{2^6}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3}$
В знаменателе используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^6}{2^{2+3} \cdot 3^2} = \frac{2^6}{2^5 \cdot 3^2}$
Сократим степени с основанием 2:
$\frac{2^{6-5}}{3^2} = \frac{2^1}{9} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

г) Найдем значение выражения $\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}}$.
Переместим множители с отрицательными степенями:
$\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}} = \frac{12^2}{8^2 \cdot 9^1}$
Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$.
$\frac{(2^2 \cdot 3)^2}{(2^3)^2 \cdot 3^2} = \frac{(2^2)^2 \cdot 3^2}{(2^3)^2 \cdot 3^2} = \frac{2^4 \cdot 3^2}{2^6 \cdot 3^2}$
Сократим $3^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2^4}{2^6}$
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:
$2^{4-6} = 2^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (121–122)

121 Запишите с помощью отрицательного показателя степени число, обратное данному:

Число: 253, 0,7, $ \frac{4}{5} $, $ 10^6 $, $ 2,1^{12} $

Обратное число:

Чтобы записать число, обратное данному, с помощью отрицательного показателя степени, необходимо использовать определение степени с целым отрицательным показателем. Для любого числа $a \ne 0$ и натурального числа $n$ верно равенство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Таким образом, число, обратное к $a$ (то есть $\frac{1}{a}$), можно записать как $a^{-1}$. Применим это правило для каждого числа из таблицы.

253

Число, обратное к 253, равно $\frac{1}{253}$. Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$\frac{1}{253} = 253^{-1}$

Ответ: $253^{-1}$

0,7

Число, обратное к 0,7, равно $\frac{1}{0,7}$. Запишем это выражение в виде степени с отрицательным показателем:

$\frac{1}{0,7} = (0,7)^{-1}$

Ответ: $(0,7)^{-1}$

$\frac{4}{5}$

Число, обратное к дроби $\frac{4}{5}$, равно $\frac{1}{\frac{4}{5}}$. Запишем это выражение в виде степени с отрицательным показателем:

$\frac{1}{\frac{4}{5}} = (\frac{4}{5})^{-1}$

Ответ: $(\frac{4}{5})^{-1}$

$10^6$

Число, обратное к $10^6$, равно $\frac{1}{10^6}$. По определению $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{10^6} = 10^{-6}$

Ответ: $10^{-6}$

$2,1^{12}$

Число, обратное к $2,1^{12}$, равно $\frac{1}{2,1^{12}}$. По определению $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{2,1^{12}} = (2,1)^{-12}$

Ответ: $(2,1)^{-12}$

122 Запишите без отрицательного показателя степени число, равное:

а) $\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$

в) $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}$

г) $\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-1}$

а) Для того чтобы записать число без отрицательного показателя степени, используется свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. В случае, когда основанием является дробь, а показатель равен -1, правило выглядит следующим образом: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{(\frac{a}{b})} = \frac{b}{a}$. Таким образом, чтобы возвести дробь в степень -1, достаточно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Применим это правило к заданному выражению:

$(\frac{4}{5})^{-1} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

б) Используя то же свойство, "переворачиваем" дробь $\frac{1}{3}$.

$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: $3$.

в) Аналогично поступаем с алгебраической дробью. Предполагается, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

$(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.

Ответ: $\frac{b}{a}$.

г) В данном выражении числителем является $a-b$, а знаменателем $a+b$. "Переворачиваем" эту дробь по тому же правилу. Предполагается, что $a-b \neq 0$ и $a+b \neq 0$.

$(\frac{a-b}{a+b})^{-1} = \frac{a+b}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

Представьте величины в десятичной записи (123—124)

123 a) Длина экватора Земли равна $4 \cdot 10^4$ км.

б) Территотория России составляет $1,27 \cdot 10^7$ $\text{км}^2$.

в) По данным ООН, численность населения Европы в 2006 г. составила примерно $7,28 \cdot 10^8$ человек, а Азии — $3,9 \cdot 10^9$ человек.

а) Чтобы представить величину $4 \cdot 10^4$ км в десятичной записи, необходимо выполнить умножение. Множитель $10^4$ означает, что число 10 умножается само на себя 4 раза, что равно 10 000. Это также можно представить как число 1 с четырьмя нулями.

Выполним вычисление:

$4 \cdot 10^4 = 4 \cdot 10\;000 = 40\;000$.

Таким образом, длина экватора Земли в десятичной записи равна 40 000 км.

Ответ: 40 000 км.

б) Чтобы представить величину $1,27 \cdot 10^7$ км$^2$ в десятичной записи, нужно умножить число 1,27 на $10^7$. Умножение на $10^7$ эквивалентно перемещению десятичной запятой на 7 знаков вправо.

В числе 1,27 есть две цифры после запятой. Чтобы сдвинуть запятую на 7 позиций, мы сначала перемещаем ее за эти две цифры, а затем дописываем недостающие $7 - 2 = 5$ нулей.

Выполним преобразование: $1,27 \cdot 10^7 = 12\;700\;000$.

Следовательно, территория России в десятичной записи составляет 12 700 000 км$^2$.

Ответ: 12 700 000 км$^2$.

в) В этом пункте необходимо представить в десятичной записи две величины: численность населения Европы и Азии.

1. Численность населения Европы: $7,28 \cdot 10^8$ человек. Для перевода в десятичную запись умножим 7,28 на $10^8$. Это означает, что нужно переместить десятичную запятую на 8 знаков вправо. В числе 7,28 есть две цифры после запятой, поэтому необходимо дописать $8 - 2 = 6$ нулей.

$7,28 \cdot 10^8 = 728\;000\;000$.

2. Численность населения Азии: $3,9 \cdot 10^9$ человек. Для перевода в десятичную запись умножим 3,9 на $10^9$. Это означает, что нужно переместить десятичную запятую на 9 знаков вправо. В числе 3,9 есть одна цифра после запятой, поэтому необходимо дописать $9 - 1 = 8$ нулей.

$3,9 \cdot 10^9 = 3\;900\;000\;000$.

Таким образом, численность населения Европы составляла примерно 728 000 000 человек, а Азии — 3 900 000 000 человек.

Ответ: 728 000 000 человек; 3 900 000 000 человек.

124 а) Оптический микроскоп даёт возможность различать объекты размерами до $2,5 \cdot 10^{-3}$ см.

б) Диаметр молекулы воды равен $2,8 \cdot 10^{-7}$ мм.

в) Радиус атома водорода равен $4,6 \cdot 10^{-8}$ мм.

а) В этом пункте указана разрешающая способность оптического микроскопа. Чтобы решить задачу, необходимо представить данную величину в стандартных единицах системы СИ, то есть в метрах. Исходное значение дано в сантиметрах (см).
Для перевода сантиметров в метры воспользуемся соотношением: $1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$.
Выполним вычисление:
$2,5 \cdot 10^{-3} \text{ см} = 2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^{-5} \text{ м}$.
Ответ: $2,5 \cdot 10^{-5}$ м.

б) Здесь указан диаметр молекулы воды в миллиметрах (мм). Выразим эту величину в метрах.
Для перевода миллиметров в метры воспользуемся соотношением: $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.
Выполним вычисление:
$2,8 \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 2,8 \cdot 10^{-7} \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2,8 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.
Ответ: $2,8 \cdot 10^{-10}$ м.

в) В данном пункте указан радиус атома водорода в миллиметрах (мм). Выразим эту величину в метрах.
Используем то же соотношение: $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.
Выполним вычисление:
$4,6 \cdot 10^{-8} \text{ мм} = 4,6 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{-3} \text{ м} = 4,6 \cdot 10^{-11} \text{ м}$.
Ответ: $4,6 \cdot 10^{-11}$ м.

Запишите в стандартном виде число (125—126).

125 a) 98 000;

б) 156 000;

в) 4 020 000;

г) 23 000 000 000;

д) 14,8;

е) 506,37.

Образец. $54\,300 = 5{,}4300 \cdot 10\,000 = 5{,}43 \cdot 10^4.$

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа. Для того чтобы записать число в стандартном виде, нужно представить его в виде числа от 1 до 10, умноженного на соответствующую степень десяти.

а) Исходное число — 98 000. Чтобы получить число $a$ в диапазоне $1 \le a < 10$, мы должны переместить запятую, которая находится в конце числа (98 000,0), влево. Перемещаем запятую на 4 позиции влево, чтобы получить 9,8. Так как мы сдвинули запятую на 4 знака влево, то число нужно умножить на $10^4$.

$98\;000 = 9.8 \cdot 10\;000 = 9.8 \cdot 10^4$.

Ответ: $9.8 \cdot 10^4$.

б) Исходное число — 156 000. Переместим запятую влево так, чтобы перед ней осталась только одна цифра. В данном случае, перемещаем запятую на 5 позиций влево, чтобы получить число 1,56. Поскольку запятая смещена на 5 позиций, показатель степени десятки будет равен 5.

$156\;000 = 1.56 \cdot 100\;000 = 1.56 \cdot 10^5$.

Ответ: $1.56 \cdot 10^5$.

в) Исходное число — 4 020 000. Для приведения к стандартному виду перемещаем запятую на 6 позиций влево, чтобы получить число 4,02. Это число находится в требуемом интервале $1 \le 4.02 < 10$. Показатель степени для 10 будет равен 6.

$4\;020\;000 = 4.02 \cdot 1\;000\;000 = 4.02 \cdot 10^6$.

Ответ: $4.02 \cdot 10^6$.

г) Исходное число — 23 000 000 000. Перемещаем запятую влево, чтобы получить число 2,3. Подсчитаем количество позиций, на которое сместилась запятая: это 10 позиций. Следовательно, порядок числа равен 10.

$23\;000\;000\;000 = 2.3 \cdot 10\;000\;000\;000 = 2.3 \cdot 10^{10}$.

Ответ: $2.3 \cdot 10^{10}$.

д) Исходное число — 14,8. В этом числе запятая уже стоит не в конце. Чтобы получить число $a$ такое, что $1 \le a < 10$, нужно переместить запятую на 1 позицию влево. Получим 1,48. Так как сдвиг был на 1 позицию влево, то показатель степени равен 1.

$14.8 = 1.48 \cdot 10^1$.

Ответ: $1.48 \cdot 10^1$.

е) Исходное число — 506,37. Для приведения этого числа к стандартному виду, переместим запятую на 2 позиции влево, чтобы получить число 5,0637. Показатель степени для 10 будет равен 2, так как запятая была сдвинута на 2 знака.

$506.37 = 5.0637 \cdot 100 = 5.0637 \cdot 10^2$.

Ответ: $5.0637 \cdot 10^2$.

126 а) 0,0081;

б) 0,00153;

в) 0,0000033;

г) 0,000000415;

д) 0,000000028;

е) 0,000403.

Образец.

$0,045 = 4,5 : 100 = 4,5 \cdot 0,01 = 4,5 \cdot 10^{-2}$.

а) Для того чтобы записать десятичную дробь в стандартном виде, нужно представить её в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. В числе $0,0081$ переносим запятую на 3 знака вправо, чтобы получить число $8,1$. Так как запятая была перенесена вправо на 3 знака, то показатель степени $n$ будет равен $-3$.

$0,0081 = 8,1 : 1000 = 8,1 \cdot 10^{-3}$.

Ответ: $8,1 \cdot 10^{-3}$.

б) В числе $0,00153$ переносим запятую на 3 знака вправо, чтобы получить число $1,53$. Так как запятая была перенесена вправо на 3 знака, то показатель степени $n$ будет равен $-3$.

$0,00153 = 1,53 : 1000 = 1,53 \cdot 10^{-3}$.

Ответ: $1,53 \cdot 10^{-3}$.

в) В числе $0,0000033$ переносим запятую на 6 знаков вправо, чтобы получить число $3,3$. Так как запятая была перенесена вправо на 6 знаков, то показатель степени $n$ будет равен $-6$.

$0,0000033 = 3,3 : 1\;000\;000 = 3,3 \cdot 10^{-6}$.

Ответ: $3,3 \cdot 10^{-6}$.

г) В числе $0,000000415$ переносим запятую на 7 знаков вправо, чтобы получить число $4,15$. Так как запятая была перенесена вправо на 7 знаков, то показатель степени $n$ будет равен $-7$.

$0,000000415 = 4,15 : 10\;000\;000 = 4,15 \cdot 10^{-7}$.

Ответ: $4,15 \cdot 10^{-7}$.

д) В числе $0,000000028$ переносим запятую на 8 знаков вправо, чтобы получить число $2,8$. Так как запятая была перенесена вправо на 8 знаков, то показатель степени $n$ будет равен $-8$.

$0,000000028 = 2,8 : 100\;000\;000 = 2,8 \cdot 10^{-8}$.

Ответ: $2,8 \cdot 10^{-8}$.

е) В числе $0,000403$ переносим запятую на 4 знака вправо, чтобы получить число $4,03$. Так как запятая была перенесена вправо на 4 знака, то показатель степени $n$ будет равен $-4$.

$0,000403 = 4,03 : 10\;000 = 4,03 \cdot 10^{-4}$.

Ответ: $4,03 \cdot 10^{-4}$.

127 1) Если число записано в стандартном виде $a \cdot 10^n$, то показатель степени $n$ называют порядком числа. Как вы понимаете выражение «одно число на порядок больше другого»? Приведите примеры.

2) Определите порядок числа:

а) 25 670;

б) 3 400 000;

в) $560 \cdot 10^7$;

г) $751 \cdot 10^6$.

1) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

Выражение «одно число на порядок больше другого» означает, что при записи обоих чисел в стандартном виде, показатель степени $n$ у первого числа будет на единицу больше, чем у второго. Это примерно соответствует тому, что одно число в 10 раз больше другого.

Пример 1: Рассмотрим числа 200 и 2000. Запишем их в стандартном виде: $200 = 2 \cdot 10^2$. Порядок числа равен 2. $2000 = 2 \cdot 10^3$. Порядок числа равен 3. Порядок числа 2000 на единицу больше порядка числа 200 ($3 - 2 = 1$), следовательно, 2000 на порядок больше, чем 200.

Пример 2: Рассмотрим числа $4,5 \cdot 10^5$ и $9 \cdot 10^6$. Первое число: $4,5 \cdot 10^5$. Порядок равен 5. Второе число: $9 \cdot 10^6$. Порядок равен 6. Порядок второго числа на единицу больше порядка первого, значит, число $9 \cdot 10^6$ на порядок больше числа $4,5 \cdot 10^5$.

Ответ: Выражение «одно число на порядок больше другого» означает, что его показатель степени $n$ в стандартной записи $a \cdot 10^n$ на 1 больше, чем у другого числа. Это означает, что число примерно в 10 раз больше. Примеры: 5000 на порядок больше 500; $8 \cdot 10^9$ на порядок больше $3 \cdot 10^8$.

2) Чтобы определить порядок числа, необходимо записать его в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Порядок будет равен показателю степени $n$.

а) 25 670
Чтобы получить множитель $a$ в диапазоне $1 \le a < 10$, нужно переместить запятую на 4 знака влево:
$25 670 = 2,567 \cdot 10^4$
Здесь $n = 4$.
Ответ: Порядок числа 25 670 равен 4.

б) 3 400 000
Переместим запятую на 6 знаков влево:
$3 400 000 = 3,4 \cdot 10^6$
Здесь $n = 6$.
Ответ: Порядок числа 3 400 000 равен 6.

в) $560 \cdot 10^7$
Сначала приведем множитель 560 к стандартному виду:
$560 = 5,6 \cdot 10^2$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$560 \cdot 10^7 = (5,6 \cdot 10^2) \cdot 10^7 = 5,6 \cdot 10^{2+7} = 5,6 \cdot 10^9$
Здесь $n = 9$.
Ответ: Порядок числа $560 \cdot 10^7$ равен 9.

г) $751 \cdot 10^6$
Приведем множитель 751 к стандартному виду:
$751 = 7,51 \cdot 10^2$
Подставим в исходное выражение:
$751 \cdot 10^6 = (7,51 \cdot 10^2) \cdot 10^6 = 7,51 \cdot 10^{2+6} = 7,51 \cdot 10^8$
Здесь $n = 8$.
Ответ: Порядок числа $751 \cdot 10^6$ равен 8.