Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

139 Найдите значение каждого из выражений $x$, $(x + 1)^{-1}$ и $(2x)^{-1}$, если известно, что:

а) $x^{-1}=10$;

б) $x^{-1}=0,1$;

в) $x^{-1}=1$.

Для решения задачи воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Исходя из этого, если дано значение $x^{-1}$, то значение $x$ можно найти как обратное число: $x = \frac{1}{x^{-1}}$.

а) Дано, что $x^{-1} = 10$.
1. Найдем значение $x$:
$x = \frac{1}{x^{-1}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
2. Теперь найдем значение выражения $(x + 1)^{-1}$:
$(x + 1)^{-1} = (0,1 + 1)^{-1} = (1,1)^{-1} = \frac{1}{1,1} = \frac{10}{11}$.
3. И найдем значение выражения $(2x)^{-1}$:
$(2x)^{-1} = (2 \cdot 0,1)^{-1} = (0,2)^{-1} = \frac{1}{0,2} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $x = 0,1$; $(x + 1)^{-1} = \frac{10}{11}$; $(2x)^{-1} = 5$.

б) Дано, что $x^{-1} = 0,1$.
1. Найдем значение $x$:
$x = \frac{1}{x^{-1}} = \frac{1}{0,1} = 10$.
2. Теперь найдем значение выражения $(x + 1)^{-1}$:
$(x + 1)^{-1} = (10 + 1)^{-1} = 11^{-1} = \frac{1}{11}$.
3. И найдем значение выражения $(2x)^{-1}$:
$(2x)^{-1} = (2 \cdot 10)^{-1} = 20^{-1} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $x = 10$; $(x + 1)^{-1} = \frac{1}{11}$; $(2x)^{-1} = \frac{1}{20}$.

в) Дано, что $x^{-1} = 1$.
1. Найдем значение $x$:
$x = \frac{1}{x^{-1}} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Теперь найдем значение выражения $(x + 1)^{-1}$:
$(x + 1)^{-1} = (1 + 1)^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
3. И найдем значение выражения $(2x)^{-1}$:
$(2x)^{-1} = (2 \cdot 1)^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = 1$; $(x + 1)^{-1} = \frac{1}{2}$; $(2x)^{-1} = \frac{1}{2}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (140–144)

При решении задач используйте калькулятор.

140 Считая, что средний радиус Земли равен $6,37 \cdot 10^3$ км, найдите:

а) площадь поверхности Земли, выразив её в млн км$^2$;

б) объём земного шара, выразив его в млрд км$^3$.

Указание. Воспользуйтесь формулами площади поверхности сферы $S = 4\pi R^2$ и объёма шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара и $\pi \approx 3,14$.

а) Для нахождения площади поверхности Земли воспользуемся формулой площади поверхности сферы: $S = 4\pi R^2$.

Подставим заданные значения: средний радиус Земли $R = 6,37 \cdot 10^3$ км и $\pi \approx 3,14$.

$S \approx 4 \cdot 3,14 \cdot (6,37 \cdot 10^3)^2$

$S \approx 12,56 \cdot (6,37^2 \cdot (10^3)^2)$

$S \approx 12,56 \cdot (40,5769 \cdot 10^6)$ км²

$S \approx 509,646064 \cdot 10^6$ км²

Поскольку 1 миллион (млн) равен $10^6$, то площадь поверхности Земли, выраженная в миллионах квадратных километров, составляет:

$S \approx 509,65$ млн км²

Ответ: площадь поверхности Земли приблизительно равна 509,65 млн км².

б) Для нахождения объёма земного шара воспользуемся формулой объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим те же значения для радиуса и числа $\pi$:

$V \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (6,37 \cdot 10^3)^3$

$V \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (6,37^3 \cdot (10^3)^3)$

$V \approx \frac{12,56}{3} \cdot (258,474353 \cdot 10^9)$ км³

$V \approx 4,1866... \cdot 258,474353 \cdot 10^9$ км³

$V \approx 1082,145957... \cdot 10^9$ км³

Поскольку 1 миллиард (млрд) равен $10^9$, то объём земного шара, выраженный в миллиардах кубических километров, составляет:

$V \approx 1082,15$ млрд км³

Ответ: объём земного шара приблизительно равен 1082,15 млрд км³.

141 Расстояние от Солнца до Земли принимают за 1 астрономическую единицу (а. е.). Воспользовавшись данными таблицы в упражнении 130, выразите в астрономических единицах расстояния от Солнца до Меркурия, от Солнца до Марса, от Солнца до Юпитера, от Солнца до Нептуна.

Для решения этой задачи необходимо выразить расстояния от Солнца до указанных планет в астрономических единицах (а. е.). По определению, 1 астрономическая единица — это среднее расстояние от Солнца до Земли.

$1 \text{ а. е.} \approx 149,6$ миллионов километров.

Чтобы найти расстояние до планеты в а. е., нужно разделить ее расстояние от Солнца в километрах на величину 1 а. е. в километрах. Для расчетов будем использовать стандартные средние расстояния планет от Солнца, так как таблица из упражнения 130 не предоставлена.

• Расстояние от Солнца до Меркурия: $57,9 \text{ млн км}$
• Расстояние от Солнца до Марса: $227,9 \text{ млн км}$
• Расстояние от Солнца до Юпитера: $778,6 \text{ млн км}$
• Расстояние от Солнца до Нептуна: $4495,1 \text{ млн км}$

от Солнца до Меркурия

Разделим расстояние от Солнца до Меркурия на величину астрономической единицы: $D_{\text{Меркурий}} = \frac{57,9 \text{ млн км}}{149,6 \text{ млн км}} \approx 0,387 \text{ а. е.}$ Ответ: $\approx 0,39$ а. е.

от Солнца до Марса

Разделим расстояние от Солнца до Марса на величину астрономической единицы: $D_{\text{Марс}} = \frac{227,9 \text{ млн км}}{149,6 \text{ млн км}} \approx 1,523 \text{ а. е.}$ Ответ: $\approx 1,52$ а. е.

от Солнца до Юпитера

Разделим расстояние от Солнца до Юпитера на величину астрономической единицы: $D_{\text{Юпитер}} = \frac{778,6 \text{ млн км}}{149,6 \text{ млн км}} \approx 5,205 \text{ а. е.}$ Ответ: $\approx 5,21$ а. е.

от Солнца до Нептуна

Разделим расстояние от Солнца до Нептуна на величину астрономической единицы: $D_{\text{Нептун}} = \frac{4495,1 \text{ млн км}}{149,6 \text{ млн км}} \approx 30,047 \text{ а. е.}$ Ответ: $\approx 30,05$ а. е.

142 Расстояние от Земли до ближайшей после Солнца звезды $\alpha$ Центавра равно $4{,}1 \cdot 10^{13}$ км. За какое время доходит до Земли свет от Солнца и от звезды $\alpha$ Центавра? (Скорость света 300 000 км/с.)

Для нахождения времени, за которое свет преодолевает определенное расстояние, используется формула $t = \frac{s}{v}$, где $t$ – время, $s$ – расстояние, а $v$ – скорость. В данном случае скорость света $c$ равна 300 000 км/с, что в стандартном виде записывается как $3 \cdot 10^5$ км/с.

Время, за которое доходит до Земли свет от Солнца

В условии задачи не указано расстояние от Земли до Солнца, но это известная астрономическая величина. Среднее расстояние от Земли до Солнца ($s_{\text{Солнца}}$) составляет приблизительно 150 000 000 км, или $1,5 \cdot 10^8$ км.

Рассчитаем время в пути для света от Солнца:

$t_{\text{Солнца}} = \frac{s_{\text{Солнца}}}{c} = \frac{1,5 \cdot 10^8 \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = 0,5 \cdot 10^{3} \text{ с} = 500 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в минуты и секунды:

$500 \text{ с} \div 60 \text{ с/мин} = 8$ минут и $20$ секунд.

Ответ: свет от Солнца доходит до Земли примерно за 500 секунд (8 минут 20 секунд).

Время, за которое доходит до Земли свет от звезды α Центавра

Расстояние от Земли до звезды α Центавра ($s_{\text{α Центавра}}$) дано в условии и равно $4,1 \cdot 10^{13}$ км.

Рассчитаем время в пути для света от α Центавра:

$t_{\text{α Центавра}} = \frac{s_{\text{α Центавра}}}{c} = \frac{4,1 \cdot 10^{13} \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = \frac{4,1}{3} \cdot 10^{8} \text{ с} \approx 1,367 \cdot 10^8 \text{ с}$

Так как это очень большой промежуток времени, его удобнее выразить в годах. В одном году содержится примерно $365,25 \text{ суток} \times 24 \text{ часа/сутки} \times 3600 \text{ с/час} \approx 3,156 \cdot 10^7$ секунд.

Переведем время из секунд в годы:

$t_{\text{α Центавра}} \approx \frac{1,367 \cdot 10^8 \text{ с}}{3,156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 4,33 \text{ года}$

Ответ: свет от звезды α Центавра доходит до Земли примерно за 4,33 года.

143 В 2007 г. одна из телефонных компаний России обеспечила $1,68 \cdot 10^9$ междугородных телефонных переговоров, причём $1,88 \cdot 10^8$ из них были международными. Сколько процентов всего количества междугородных телефонных разговоров составили международные?

Чтобы определить, сколько процентов от общего количества междугородных телефонных разговоров составили международные, нужно найти отношение количества международных разговоров к общему количеству междугородных разговоров и умножить результат на 100%.

Дано:

• Общее количество междугородных разговоров: $1.68 \cdot 10^9$
• Количество международных разговоров: $1.88 \cdot 10^8$

Формула для расчета процента:

$ \text{Процент} = \frac{\text{Часть}}{\text{Целое}} \times 100\% $

Подставим наши значения в формулу:

$ \text{Процент} = \frac{1.88 \cdot 10^8}{1.68 \cdot 10^9} \times 100\% $

Теперь проведем вычисления. Упростим выражение, выполнив действия со степенями:

$ \frac{1.88 \cdot 10^8}{1.68 \cdot 10^9} \times 100 = \frac{1.88}{1.68} \times \frac{10^8}{10^9} \times 10^2 = \frac{1.88}{1.68} \times 10^{8-9} \times 10^2 = \frac{1.88}{1.68} \times 10^{-1} \times 10^2 = \frac{1.88}{1.68} \times 10^{1} $

Это равносильно следующему выражению:

$ \frac{1.88 \times 10}{1.68} = \frac{18.8}{1.68} $

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим оба на 100:

$ \frac{18.8 \times 100}{1.68 \times 100} = \frac{1880}{168} $

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 8:

$ \frac{1880 \div 8}{168 \div 8} = \frac{235}{21} $

Теперь выполним деление:

$ 235 \div 21 \approx 11.190476... $

Округлим результат до сотых, чтобы получить процентное соотношение.

$ \approx 11.19\% $

Ответ: Международные разговоры составили примерно $11.19\%$ от общего количества междугородных телефонных разговоров.

144 В 2011 г. численность населения Земли составила 7 млрд человек. Примерная численность населения через $x$ лет после 2011 г. или за $x$ лет до этого времени (при небольших значениях $x$) может быть рассчитана по формуле

$P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^x$

Запишите выражение для вычисления численности населения Земли и определите примерную численность населения:

а) в 2017 г.;

б) в 2005 г.

Подсказка. б) Подумайте, какой знак должен иметь показатель степени $x$ в этом случае.

Для решения задачи используется формула для расчета примерной численности населения Земли $P$ через $x$ лет после или до 2011 года: $P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^x$. В этой формуле $x$ представляет собой разницу в годах с 2011 годом. Если год более поздний, чем 2011, $x$ будет положительным. Если год более ранний, $x$ будет отрицательным.

а) в 2017 г.

Сначала найдем значение $x$ для 2017 года. Так как 2017 год наступил после 2011, значение $x$ будет положительным. $x = 2017 - 2011 = 6$.

Следовательно, выражение для вычисления численности населения в 2017 году выглядит так: $P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^6$.

Теперь произведем расчет. Сначала вычислим значение $1,012^6$: $1,012^6 \approx 1,074174$. Подставим это значение в формулу: $P \approx 7 \cdot 10^9 \cdot 1,074174 \approx 7,519218 \cdot 10^9$. Округляя, получаем, что примерная численность населения в 2017 году составила около 7,519 миллиарда человек.

Ответ: выражение для вычисления: $P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^6$; примерная численность населения: ≈7,519 млрд человек.

б) в 2005 г.

Найдем значение $x$ для 2005 года. Так как 2005 год был до 2011 года, значение $x$ будет отрицательным, как и указано в подсказке к задаче. $x = 2005 - 2011 = -6$.

Выражение для вычисления численности населения в 2005 году будет таким: $P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^{-6}$.

Произведем расчет. Отрицательная степень означает обратное значение: $1,012^{-6} = \frac{1}{1,012^6} \approx \frac{1}{1,074174} \approx 0,930948$. Подставим найденное значение в формулу: $P \approx 7 \cdot 10^9 \cdot 0,930948 \approx 6,516636 \cdot 10^9$. Округляя, получаем, что примерная численность населения в 2005 году составляла около 6,517 миллиарда человек.

Ответ: выражение для вычисления: $P = 7 \cdot 10^9 \cdot 1,012^{-6}$; примерная численность населения: ≈6,517 млрд человек.