Страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

128 Дополните запись, воспользовавшись образцом:

а) 38 тыс. км = ... км;

б) 2167 тыс. т = ... т;

в) 11850 млн р. = ... р.;

г) 19,8 тыс. т = ... т;

д) 50,2 млн человек = ... человек;

е) 0,7 млн га = ... га.

Образец. 683 млн книг = $683 \cdot 10^6$ книг = $6,83 \cdot 10^8$ книг.

Для решения этой задачи мы будем переводить сокращения "тыс." (тысяча) и "млн" (миллион) в их числовые эквиваленты в виде степеней десяти: "тыс." соответствует множителю $1000 = 10^3$, а "млн" — множителю $1 \ 000 \ 000 = 10^6$. Затем, следуя образцу, мы представим полученные числа в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.

а) 38 тыс. км

Заменяем "тыс." на $10^3$ и приводим число к стандартному виду.

$38 \text{ тыс. км} = 38 \cdot 10^3 \text{ км}$.

Так как $38 = 3,8 \cdot 10^1$, то:

$38 \cdot 10^3 \text{ км} = (3,8 \cdot 10^1) \cdot 10^3 \text{ км} = 3,8 \cdot 10^{1+3} \text{ км} = 3,8 \cdot 10^4 \text{ км}$.

Ответ: $38 \text{ тыс. км} = 38 \cdot 10^3 \text{ км} = 3,8 \cdot 10^4 \text{ км}$.

б) 2167 тыс. т

Заменяем "тыс." на $10^3$ и приводим число к стандартному виду.

$2167 \text{ тыс. т} = 2167 \cdot 10^3 \text{ т}$.

Так как $2167 = 2,167 \cdot 10^3$, то:

$2167 \cdot 10^3 \text{ т} = (2,167 \cdot 10^3) \cdot 10^3 \text{ т} = 2,167 \cdot 10^{3+3} \text{ т} = 2,167 \cdot 10^6 \text{ т}$.

Ответ: $2167 \text{ тыс. т} = 2167 \cdot 10^3 \text{ т} = 2,167 \cdot 10^6 \text{ т}$.

в) 11 850 млн р.

Заменяем "млн" на $10^6$ и приводим число к стандартному виду.

$11 \ 850 \text{ млн р.} = 11 \ 850 \cdot 10^6 \text{ р.}$.

Так как $11 \ 850 = 1,185 \cdot 10^4$, то:

$11 \ 850 \cdot 10^6 \text{ р.} = (1,185 \cdot 10^4) \cdot 10^6 \text{ р.} = 1,185 \cdot 10^{4+6} \text{ р.} = 1,185 \cdot 10^{10} \text{ р.}$.

Ответ: $11 \ 850 \text{ млн р.} = 11 \ 850 \cdot 10^6 \text{ р.} = 1,185 \cdot 10^{10} \text{ р.}$.

г) 19,8 тыс. т

Заменяем "тыс." на $10^3$ и приводим число к стандартному виду.

$19,8 \text{ тыс. т} = 19,8 \cdot 10^3 \text{ т}$.

Так как $19,8 = 1,98 \cdot 10^1$, то:

$19,8 \cdot 10^3 \text{ т} = (1,98 \cdot 10^1) \cdot 10^3 \text{ т} = 1,98 \cdot 10^{1+3} \text{ т} = 1,98 \cdot 10^4 \text{ т}$.

Ответ: $19,8 \text{ тыс. т} = 19,8 \cdot 10^3 \text{ т} = 1,98 \cdot 10^4 \text{ т}$.

д) 50,2 млн человек

Заменяем "млн" на $10^6$ и приводим число к стандартному виду.

$50,2 \text{ млн человек} = 50,2 \cdot 10^6 \text{ человек}$.

Так как $50,2 = 5,02 \cdot 10^1$, то:

$50,2 \cdot 10^6 \text{ человек} = (5,02 \cdot 10^1) \cdot 10^6 \text{ человек} = 5,02 \cdot 10^{1+6} \text{ человек} = 5,02 \cdot 10^7 \text{ человек}$.

Ответ: $50,2 \text{ млн человек} = 50,2 \cdot 10^6 \text{ человек} = 5,02 \cdot 10^7 \text{ человек}$.

е) 0,7 млн га

Заменяем "млн" на $10^6$ и приводим число к стандартному виду.

$0,7 \text{ млн га} = 0,7 \cdot 10^6 \text{ га}$.

Так как $0,7 = 7 \cdot 10^{-1}$, то:

$0,7 \cdot 10^6 \text{ га} = (7 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^6 \text{ га} = 7 \cdot 10^{-1+6} \text{ га} = 7 \cdot 10^5 \text{ га}$.

Ответ: $0,7 \text{ млн га} = 0,7 \cdot 10^6 \text{ га} = 7 \cdot 10^5 \text{ га}$.

129 а) За первые два месяца наступившего года в мире было продано примерно $1,02 \cdot 10^7$ компьютеров. Выразите это число в миллионах штук.

б) Территория Антарктиды составляет $1,398 \cdot 10^7$ км$^2$. Сколько это тысяч квадратных километров?

а) Исходное число проданных компьютеров — $1,02 \cdot 10^7$. Чтобы выразить это число в миллионах, необходимо разделить его на 1 миллион. Один миллион в стандартном виде записывается как $1\;000\;000$ или в виде степени как $10^6$.

Выполним преобразование:

$\frac{1,02 \cdot 10^7}{10^6} = 1,02 \cdot 10^{7-6} = 1,02 \cdot 10^1 = 10,2$

Таким образом, за первые два месяца было продано 10,2 миллиона компьютеров.

Ответ: 10,2 миллиона штук.

б) Территория Антарктиды составляет $1,398 \cdot 10^7$ км$^2$. Чтобы выразить это число в тысячах квадратных километров, нужно разделить его на 1 тысячу. Одна тысяча записывается как $1000$ или $10^3$.

Выполним преобразование:

$\frac{1,398 \cdot 10^7}{10^3} = 1,398 \cdot 10^{7-3} = 1,398 \cdot 10^4$

Теперь вычислим полученное значение:

$1,398 \cdot 10^4 = 1,398 \cdot 10000 = 13980$

Следовательно, территория Антарктиды составляет 13980 тысяч квадратных километров.

Ответ: 13980 тысяч квадратных километров.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (130–132)

130 В таблице приведены расстояния от планет Солнечной системы до Солнца:

1) Какая из планет ближе всех к Солнцу? Какая из них дальше всех от Солнца?

2) Составьте новую таблицу, поместив в левом столбце названия планет в порядке удаления их от Солнца, а в правом — расстояния до Солнца (в млн км).

3) Покажите на схеме (рис. 1.5) примерное положение каждой планеты.

Солнце

1000 2000 3000 4000 5000 6000 млн км

Рис. 1.5

1) Какая из планет ближе всех к Солнцу? Какая из них дальше всех от Солнца?

Для того чтобы определить самую близкую и самую далёкую планеты от Солнца, необходимо сравнить их расстояния. Расстояния в таблице представлены в стандартном виде. Чтобы их было удобнее сравнивать, приведём все расстояния к одной степени 10, например к $10^8$, или запишем их в обычном виде.

Запишем расстояния в километрах:

• Венера: $1,082 \cdot 10^8$ км = 108 200 000 км
• Земля: $1,495 \cdot 10^8$ км = 149 500 000 км
• Марс: $2,280 \cdot 10^8$ км = 228 000 000 км
• Меркурий: $5,790 \cdot 10^7$ км = 57 900 000 км
• Нептун: $4,497 \cdot 10^9$ км = 4 497 000 000 км
• Сатурн: $1,427 \cdot 10^9$ км = 1 427 000 000 км
• Уран: $2,871 \cdot 10^9$ км = 2 871 000 000 км
• Юпитер: $7,781 \cdot 10^8$ км = 778 100 000 км

Сравнивая эти числа, мы видим, что наименьшее расстояние у Меркурия, а наибольшее — у Нептуна.

Ответ: Ближе всех к Солнцу находится Меркурий, а дальше всех — Нептун.

2) Составьте новую таблицу, поместив в левом столбце названия планет в порядке удаления их от Солнца, а в правом — расстояния до Солнца (в млн км).

Сначала расположим планеты в порядке возрастания их расстояния до Солнца. Затем переведём расстояния из километров в миллионы километров. Учитывая, что 1 млн км = $10^6$ км, для перевода нужно разделить значение в километрах на $10^6$.

Выполним расчёты:

• Меркурий: $ \frac{5,790 \cdot 10^7}{10^6} = 57,9 $ млн км
• Венера: $ \frac{1,082 \cdot 10^8}{10^6} = 108,2 $ млн км
• Земля: $ \frac{1,495 \cdot 10^8}{10^6} = 149,5 $ млн км
• Марс: $ \frac{2,280 \cdot 10^8}{10^6} = 228,0 $ млн км
• Юпитер: $ \frac{7,781 \cdot 10^8}{10^6} = 778,1 $ млн км
• Сатурн: $ \frac{1,427 \cdot 10^9}{10^6} = 1427 $ млн км
• Уран: $ \frac{2,871 \cdot 10^9}{10^6} = 2871 $ млн км
• Нептун: $ \frac{4,497 \cdot 10^9}{10^6} = 4497 $ млн км

Ответ:

3) Покажите на схеме (рис. 1.5) примерное положение каждой планеты.

Используя рассчитанные расстояния в миллионах километров, можно отметить примерное положение планет на предложенной схеме. Солнце находится в точке 0.

Ответ:

• Солнце: на отметке 0.
• Меркурий (57,9 млн км), Венера (108,2 млн км), Земля (149,5 млн км) и Марс (228,0 млн км) находятся очень близко к Солнцу, в первой четверти отрезка от 0 до 1000.
• Юпитер (778,1 млн км) расположен примерно на трёх четвертях расстояния от 0 до отметки 1000.
• Сатурн (1427 млн км) находится между отметками 1000 и 2000, примерно на середине этого отрезка.
• Уран (2871 млн км) находится между отметками 2000 и 3000, значительно ближе к отметке 3000.
• Нептун (4497 млн км) находится между отметками 4000 и 5000, почти посередине между ними.