Страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

106 Замените выражение равным, не содержащим отрицательных показателей:

a) $a^{-3}$;

б) $(5x)^{-2}$;

в) $xy^{-1}$;

г) $3m^2n^{-2}$;

д) $a^{-2} + b^{-2}$;

е) $(u - v)^{-2}$;

ж) $-10yz^{-19}$;

з) $2(a + c)^{-3}$.

а) Чтобы избавиться от отрицательного показателя в выражении $a^{-3}$, мы используем определение степени с целым отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого ненулевого $x$. В данном случае $x = a$ и $n = 3$.
Применив это правило, получаем:
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
Ответ: $\frac{1}{a^3}$

б) В выражении $(5x)^{-2}$ основанием степени является произведение $5x$. Сначала применяем правило для степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где в качестве $x$ выступает все выражение в скобках.
$(5x)^{-2} = \frac{1}{(5x)^2}$
Далее, раскрываем скобки в знаменателе, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{1}{(5x)^2} = \frac{1}{5^2 \cdot x^2} = \frac{1}{25x^2}$
Ответ: $\frac{1}{25x^2}$

в) В выражении $xy^{-1}$ отрицательный показатель степени относится только к переменной $y$. Переменная $x$ остается без изменений. Преобразуем $y^{-1}$:
$y^{-1} = \frac{1}{y^1} = \frac{1}{y}$
Теперь подставим полученное выражение обратно:
$xy^{-1} = x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{y}$
Ответ: $\frac{x}{y}$

г) В выражении $3m^2n^{-2}$ отрицательный показатель $-2$ относится только к множителю $n$. Множители $3$ и $m^2$ остаются в числителе. Преобразуем $n^{-2}$:
$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$
Запишем все выражение в виде одной дроби:
$3m^2n^{-2} = 3m^2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{3m^2}{n^2}$
Ответ: $\frac{3m^2}{n^2}$

д) Выражение $a^{-2} + b^{-2}$ представляет собой сумму двух слагаемых с отрицательными показателями. Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
Следовательно, сумма примет вид:
$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

е) В выражении $(u - v)^{-2}$ основанием степени является вся скобка $(u-v)$. Применяем правило для отрицательной степени:
$(u - v)^{-2} = \frac{1}{(u - v)^2}$
Знаменатель можно оставить в виде квадрата разности.
Ответ: $\frac{1}{(u-v)^2}$

ж) В выражении $-10yz^{-19}$ отрицательный показатель степени $-19$ относится только к переменной $z$. Множитель $-10y$ остается без изменений. Преобразуем $z^{-19}$:
$z^{-19} = \frac{1}{z^{19}}$
Теперь запишем все выражение в виде дроби:
$-10yz^{-19} = -10y \cdot \frac{1}{z^{19}} = -\frac{10y}{z^{19}}$
Ответ: $-\frac{10y}{z^{19}}$

з) В выражении $2(a + c)^{-3}$ отрицательная степень $-3$ относится ко всему выражению в скобках $(a + c)$. Множитель $2$ остается в числителе. Преобразуем $(a + c)^{-3}$:
$(a+c)^{-3} = \frac{1}{(a+c)^3}$
Умножим полученную дробь на 2:
$2(a+c)^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{(a+c)^3} = \frac{2}{(a+c)^3}$
Ответ: $\frac{2}{(a+c)^3}$

107 Вычислите:

а) $3^{-3}$; $2^{-4}$; $11^{-2}$;

б) $(-9)^{-2}$; $(-5)^{-3}$; $(-2)^{-6}$;

в) $1^{-25}$; $(-1)^{-17}$; $(-1)^{-20}$;

г) $15^0$; $(-12)^0$; $(-1)^0$.

а)

Для вычисления степени с отрицательным целым показателем используется свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \neq 0$ и целого $n$.
$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{16}$
$11^{-2} = \frac{1}{11^2} = \frac{1}{11 \cdot 11} = \frac{1}{121}$
Ответ: $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{121}$.

б)

Применяем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Важно помнить, что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным, а при возведении в нечетную степень — отрицательным.
$(-9)^{-2} = \frac{1}{(-9)^2} = \frac{1}{81}$. Показатель степени 2 — четное число.
$(-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}$. Показатель степени 3 — нечетное число.
$(-2)^{-6} = \frac{1}{(-2)^6} = \frac{1}{64}$. Показатель степени 6 — четное число.
Ответ: $\frac{1}{81}$; $-\frac{1}{125}$; $\frac{1}{64}$.

в)

В этом пункте используются свойства степеней для чисел 1 и -1.
Число 1 в любой степени равно 1:
$1^{-25} = \frac{1}{1^{25}} = \frac{1}{1} = 1$.
Для числа -1 результат зависит от четности показателя степени:
$(-1)^{-17} = \frac{1}{(-1)^{17}} = \frac{1}{-1} = -1$, так как 17 — нечетное число.
$(-1)^{-20} = \frac{1}{(-1)^{20}} = \frac{1}{1} = 1$, так как 20 — четное число.
Ответ: $1$; $-1$; $1$.

г)

Согласно определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
$15^0 = 1$
$(-12)^0 = 1$
$(-1)^0 = 1$
Ответ: $1$; $1$; $1$.

108 Найдите значение выражения:

а) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$;

б) $\left(\frac{4}{3}\right)^{-2}$;

в) $\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}$;

г) $(-0,3)^{-3}$;

д) $(-1,5)^{-2}$;

е) $\left(-\frac{8}{7}\right)^{0}$.

а) Для того чтобы возвести дробь в отрицательную степень, необходимо воспользоваться свойством $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Для дроби это свойство выглядит так: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $. Это означает, что мы "переворачиваем" дробь и меняем знак показателя степени на противоположный.

Применим это правило:

$ (\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $.

Ответ: $ 27 $

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

Переворачиваем дробь и возводим в квадрат:

$ (\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $.

Ответ: $ \frac{9}{16} $

в) Аналогично предыдущим примерам, переворачиваем дробь и меняем знак степени на положительный.

$ (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $.

Этот результат также можно записать в виде десятичной дроби: $ \frac{4}{25} = 0,16 $.

Ответ: $ \frac{4}{25} $

г) Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ -0,3 = -\frac{3}{10} $.

Теперь выражение принимает вид: $ (-\frac{3}{10})^{-3} $. Применяем правило для отрицательной степени:

$ (-\frac{3}{10})^{-3} = (-\frac{10}{3})^3 $.

Поскольку показатель степени ($3$) — нечетное число, знак "минус" у основания сохраняется в результате:

$ (-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27} $.

Ответ: $ -\frac{1000}{27} $

д) Представим десятичное число $ -1,5 $ в виде обыкновенной дроби: $ -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2} $.

Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$ (-\frac{3}{2})^{-2} = (-\frac{2}{3})^2 $.

Поскольку показатель степени ($2$) — четное число, результат возведения отрицательного основания в такую степень будет положительным:

$ (-\frac{2}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{4}{9} $

е) Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Это основное свойство степени: $ a^0 = 1 $ при $ a \neq 0 $.

В данном случае основание степени $ -\frac{8}{7} $ не равно нулю, следовательно:

$ (-\frac{8}{7})^0 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

109 Какое выражение равно $2^{-n}$?

1) $-2^n$

2) $\frac{1}{2^{-n}}$

3) $\frac{1}{2^n}$

4) $-\frac{1}{2^n}$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений равно $2^{-n}$, воспользуемся определением степени с отрицательным целым показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого числа $n$ справедливо равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

В нашем случае основание степени $a = 2$. Применяя данное правило к выражению $2^{-n}$, получаем:

$2^{-n} = \frac{1}{2^n}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа:

1) Выражение $-2^n$ является противоположным числу $2^n$. Оно не равно $2^{-n}$. Например, при $n=2$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, а $-2^2 = -4$.

2) Выражение $\frac{1}{2^{-n}}$. Используя то же свойство степени с отрицательным показателем для знаменателя, получаем: $\frac{1}{2^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{2^n}} = 1 \cdot \frac{2^n}{1} = 2^n$. Это выражение не равно $2^{-n}$ (за исключением случая $n=0$).

3) Выражение $\frac{1}{2^n}$ полностью совпадает с результатом, полученным нами при применении определения степени с отрицательным показателем. Следовательно, это правильный вариант.

4) Выражение $-\frac{1}{2^n}$ является противоположным числу $\frac{1}{2^n}$. Оно равно $-2^{-n}$, а не $2^{-n}$.

Таким образом, выражение, равное $2^{-n}$, находится под номером 3.

Ответ: 3

110 Сравните с нулём значения выражений $m^{16}$, $m^{-16}$, $m^{23}$ и $m^{-23}$, если: a) $m > 0$; б) $m < 0$. Сделайте вывод.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

Для того чтобы сравнить значения выражений с нулем, необходимо вспомнить правила работы со степенями. Знак результата зависит от знака основания ($m$) и от четности показателя степени.

а) $m > 0$

Если основание степени $m$ является положительным числом, то любое его возведение в целую степень (как положительную, так и отрицательную) даст в результате положительное число. Это следует из того, что произведение или частное положительных чисел всегда положительно.

Проведем численный эксперимент, как предложено в подсказке. Возьмем в качестве примера $m = 2$.

Для выражения $m^{16}$: $2^{16} > 0$.

Для выражения $m^{-16}$: $2^{-16} = \frac{1}{2^{16}} > 0$.

Для выражения $m^{23}$: $2^{23} > 0$.

Для выражения $m^{-23}$: $2^{-23} = \frac{1}{2^{23}} > 0$.

Как мы видим, все значения выражений больше нуля.

Ответ: $m^{16} > 0$, $m^{-16} > 0$, $m^{23} > 0$, $m^{-23} > 0$.

б) $m < 0$

Если основание степени $m$ является отрицательным числом, то знак результата будет зависеть от четности показателя степени.

При возведении отрицательного числа в четную степень (в нашем случае показатели 16 и -16) результат будет положительным. Это правило работает и для отрицательных показателей, так как $m^{-16} = \frac{1}{m^{16}}$, а $m^{16}$ будет положительным.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (показатели 23 и -23) результат будет отрицательным. Аналогично, $m^{-23} = \frac{1}{m^{23}}$, и так как $m^{23}$ будет отрицательным, то и вся дробь будет отрицательной.

Проведем численный эксперимент, взяв в качестве примера $m = -2$.

Для выражения $m^{16}$: $(-2)^{16} = 2^{16} > 0$.

Для выражения $m^{-16}$: $(-2)^{-16} = \frac{1}{(-2)^{16}} = \frac{1}{2^{16}} > 0$.

Для выражения $m^{23}$: $(-2)^{23} = -2^{23} < 0$.

Для выражения $m^{-23}$: $(-2)^{-23} = \frac{1}{(-2)^{23}} = -\frac{1}{2^{23}} < 0$.

Ответ: $m^{16} > 0$, $m^{-16} > 0$, $m^{23} < 0$, $m^{-23} < 0$.

Вывод

На основе проведенного анализа можно сформулировать общее правило для знака выражения $m^n$, где $n$ — целое число и $m \neq 0$.

1. Если основание степени $m$ положительно ($m > 0$), то значение выражения $m^n$ всегда положительно при любом целом $n$.

2. Если основание степени $m$ отрицательно ($m < 0$), то знак выражения $m^n$ зависит от четности показателя $n$: при четном $n$ значение $m^n$ будет положительным, а при нечетном $n$ значение $m^n$ будет отрицательным.

1111 Сравните числа $a$ и $a^{-1}$, если:

a) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

В) $-1 < a < 0$;

Г) $a < -1$.

Для сравнения чисел $a$ и $a^{-1}$ (что то же самое, что и $\frac{1}{a}$), удобно рассмотреть их разность $a - a^{-1}$ и определить её знак. Приведём разность к общему знаменателю: $a - a^{-1} = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a}$. Знак этого выражения зависит от знаков числителя ($a^2 - 1$) и знаменателя ($a$). Если $a - a^{-1} > 0$, то $a > a^{-1}$. Если $a - a^{-1} < 0$, то $a < a^{-1}$.

а) $0 < a < 1$

В этом случае знаменатель $a$ является положительным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $0 < a < 1$, то при возведении в квадрат этого неравенства получим $0^2 < a^2 < 1^2$, то есть $0 < a^2 < 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет отрицательным числом (например, если $a = 0.5$, то $a^2 = 0.25$, и $0.25 - 1 = -0.75$). Таким образом, мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель, и результат будет отрицательным: $\frac{a^2 - 1}{a} < 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} < 0$, а значит $a < a^{-1}$.
Ответ: $a < a^{-1}$.

б) $a > 1$

В этом случае знаменатель $a$ также является положительным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $a > 1$, то при возведении в квадрат получим $a^2 > 1^2$, то есть $a^2 > 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет положительным числом. Таким образом, мы делим положительный числитель на положительный знаменатель, и результат будет положительным: $\frac{a^2 - 1}{a} > 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} > 0$, а значит $a > a^{-1}$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

в) $-1 < a < 0$

В этом случае знаменатель $a$ является отрицательным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $-1 < a < 0$, то при возведении в квадрат этого двойного неравенства знаки поменяются, и мы получим $0 < a^2 < (-1)^2$, то есть $0 < a^2 < 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет отрицательным числом. Таким образом, мы делим отрицательный числитель на отрицательный знаменатель, и результат будет положительным (минус на минус дает плюс): $\frac{a^2 - 1}{a} > 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} > 0$, а значит $a > a^{-1}$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

г) $a < -1$

В этом случае знаменатель $a$ также является отрицательным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $a < -1$, то при возведении в квадрат знак неравенства поменяется, и мы получим $a^2 > (-1)^2$, то есть $a^2 > 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет положительным числом. Таким образом, мы делим положительный числитель на отрицательный знаменатель, и результат будет отрицательным: $\frac{a^2 - 1}{a} < 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} < 0$, а значит $a < a^{-1}$.
Ответ: $a < a^{-1}$.

112 Представьте в виде степени числа 10 следующие числа:

$100$; $10$; $1$; $0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$; $0,00001$; $0,000001$.

Для представления чисел в виде степени числа 10, мы используем следующие правила:

• Если число больше 1 (например, 100, 1000), показатель степени будет положительным и равен количеству нулей в числе.
• Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1.
• Если число является десятичной дробью меньше 1 (например, 0,1, 0,01), показатель степени будет отрицательным. Его модуль (значение без знака) равен количеству знаков после запятой. Это следует из свойства $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

100
Число 100 содержит два нуля после единицы. Это означает, что 10 нужно умножить на себя 2 раза: $10 \cdot 10 = 100$.
Следовательно, $100 = 10^2$.
Ответ: $10^2$

10
Число 10 содержит один нуль после единицы. Любое число в первой степени равно самому себе.
Следовательно, $10 = 10^1$.
Ответ: $10^1$

1
Согласно свойству степеней, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
Следовательно, $1 = 10^0$.
Ответ: $10^0$

0,1
Десятичная дробь 0,1 может быть записана как обыкновенная дробь $\frac{1}{10}$. Используя правило для отрицательных степеней, $\frac{1}{10^1} = 10^{-1}$. Также можно посчитать количество знаков после запятой (один знак), что дает нам показатель степени -1.
Следовательно, $0,1 = 10^{-1}$.
Ответ: $10^{-1}$

0,01
Десятичная дробь 0,01 может быть записана как $\frac{1}{100}$. Поскольку $100 = 10^2$, мы имеем $\frac{1}{10^2}$. По правилу для отрицательных степеней это равно $10^{-2}$. Количество знаков после запятой равно двум.
Следовательно, $0,01 = 10^{-2}$.
Ответ: $10^{-2}$

0,001
Десятичная дробь 0,001 — это $\frac{1}{1000}$. Так как $1000 = 10^3$, то $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Количество знаков после запятой равно трем.
Следовательно, $0,001 = 10^{-3}$.
Ответ: $10^{-3}$

0,0001
Это число равно $\frac{1}{10000}$. Так как $10000 = 10^4$, то $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$. Количество знаков после запятой равно четырем.
Следовательно, $0,0001 = 10^{-4}$.
Ответ: $10^{-4}$

0,00001
Это число равно $\frac{1}{100000}$. Так как $100000 = 10^5$, то $\frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}$. Количество знаков после запятой равно пяти.
Следовательно, $0,00001 = 10^{-5}$.
Ответ: $10^{-5}$

0,000001
Это число равно $\frac{1}{1000000}$ (одна миллионная). Так как $1000000 = 10^6$, то $\frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$. Количество знаков после запятой равно шести.
Следовательно, $0,000001 = 10^{-6}$.
Ответ: $10^{-6}$

113 Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых (воспользуйтесь результатами упражнения 112):

а) 17,214;

в) 0,3214;

д) 0,03718;

б) 426,503;

г) 0,15268;

е) 0,002051.

Образец. $523,48 = 5 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 8 \cdot 10^{-2}$.

а) Чтобы записать число 17,214 в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо каждую цифру числа умножить на 10 в степени, соответствующей ее разряду.

Цифра 1 находится в разряде десятков, ее множитель $10^1$.
Цифра 7 находится в разряде единиц, ее множитель $10^0$.
Цифра 2 находится в разряде десятых, ее множитель $10^{-1}$.
Цифра 1 находится в разряде сотых, ее множитель $10^{-2}$.
Цифра 4 находится в разряде тысячных, ее множитель $10^{-3}$.

Суммируя полученные произведения, получаем разложение числа:

$17,214 = 1 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-3}$

Ответ: $17,214 = 1 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-3}$.

б) Разложим число 426,503 на разрядные слагаемые. Каждая цифра умножается на 10 в соответствующей степени. Слагаемое с цифрой 0 можно опустить, так как оно равно нулю.

$426,503 = 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 6 \cdot 1 + 5 \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,01 + 3 \cdot 0,001$

Представим множители в виде степеней числа 10:

$426,503 = 4 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-3}$

Ответ: $426,503 = 4 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-3}$.

в) Разложим число 0,3214 на разрядные слагаемые. Целая часть равна нулю, поэтому рассматриваем только дробную часть.

$0,3214 = 3 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,01 + 1 \cdot 0,001 + 4 \cdot 0,0001$

Запишем это с использованием степеней 10:

$0,3214 = 3 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} + 4 \cdot 10^{-4}$

Ответ: $0,3214 = 3 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} + 4 \cdot 10^{-4}$.

г) Разложим число 0,15268 по разрядам. Каждая цифра дробной части умножается на 10 в соответствующей отрицательной степени.

Цифра 1 в разряде десятых ($10^{-1}$), 5 в разряде сотых ($10^{-2}$), 2 в разряде тысячных ($10^{-3}$), 6 в разряде десятитысячных ($10^{-4}$), 8 в разряде стотысячных ($10^{-5}$).

Сумма будет выглядеть так:

$0,15268 = 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3} + 6 \cdot 10^{-4} + 8 \cdot 10^{-5}$

Ответ: $0,15268 = 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3} + 6 \cdot 10^{-4} + 8 \cdot 10^{-5}$.

д) Разложим число 0,03718 на разрядные слагаемые. Нули в разрядах единиц и десятых не вносят вклада в сумму, поэтому мы их опускаем.

Цифра 3 стоит в разряде сотых ($10^{-2}$), 7 в разряде тысячных ($10^{-3}$), 1 в разряде десятитысячных ($10^{-4}$), 8 в разряде стотысячных ($10^{-5}$).

Сумма слагаемых:

$0,03718 = 3 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} + 1 \cdot 10^{-4} + 8 \cdot 10^{-5}$

Ответ: $0,03718 = 3 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} + 1 \cdot 10^{-4} + 8 \cdot 10^{-5}$.

е) Разложим число 0,002051 на разрядные слагаемые, пропуская нулевые члены.

Цифра 2 стоит в разряде тысячных ($10^{-3}$).
Цифра 5 стоит в разряде стотысячных ($10^{-5}$).
Цифра 1 стоит в разряде миллионных ($10^{-6}$).

Сумма слагаемых:

$0,002051 = 2 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-5} + 1 \cdot 10^{-6}$

Ответ: $0,002051 = 2 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-5} + 1 \cdot 10^{-6}$.