Номер 110, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 110, страница 35.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (110–111)

110 Сравните с нулём значения выражений $m^{16}$, $m^{-16}$, $m^{23}$ и $m^{-23}$, если: a) $m > 0$; б) $m < 0$. Сделайте вывод.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы сравнить значения выражений с нулем, необходимо вспомнить правила работы со степенями. Знак результата зависит от знака основания ($m$) и от четности показателя степени.

а) $m > 0$

Если основание степени $m$ является положительным числом, то любое его возведение в целую степень (как положительную, так и отрицательную) даст в результате положительное число. Это следует из того, что произведение или частное положительных чисел всегда положительно.

Проведем численный эксперимент, как предложено в подсказке. Возьмем в качестве примера $m = 2$.

Для выражения $m^{16}$: $2^{16} > 0$.

Для выражения $m^{-16}$: $2^{-16} = \frac{1}{2^{16}} > 0$.

Для выражения $m^{23}$: $2^{23} > 0$.

Для выражения $m^{-23}$: $2^{-23} = \frac{1}{2^{23}} > 0$.

Как мы видим, все значения выражений больше нуля.

Ответ: $m^{16} > 0$, $m^{-16} > 0$, $m^{23} > 0$, $m^{-23} > 0$.

б) $m < 0$

Если основание степени $m$ является отрицательным числом, то знак результата будет зависеть от четности показателя степени.

При возведении отрицательного числа в четную степень (в нашем случае показатели 16 и -16) результат будет положительным. Это правило работает и для отрицательных показателей, так как $m^{-16} = \frac{1}{m^{16}}$, а $m^{16}$ будет положительным.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (показатели 23 и -23) результат будет отрицательным. Аналогично, $m^{-23} = \frac{1}{m^{23}}$, и так как $m^{23}$ будет отрицательным, то и вся дробь будет отрицательной.

Проведем численный эксперимент, взяв в качестве примера $m = -2$.

Для выражения $m^{16}$: $(-2)^{16} = 2^{16} > 0$.

Для выражения $m^{-16}$: $(-2)^{-16} = \frac{1}{(-2)^{16}} = \frac{1}{2^{16}} > 0$.

Для выражения $m^{23}$: $(-2)^{23} = -2^{23} < 0$.

Для выражения $m^{-23}$: $(-2)^{-23} = \frac{1}{(-2)^{23}} = -\frac{1}{2^{23}} < 0$.

Ответ: $m^{16} > 0$, $m^{-16} > 0$, $m^{23} < 0$, $m^{-23} < 0$.

Вывод

На основе проведенного анализа можно сформулировать общее правило для знака выражения $m^n$, где $n$ — целое число и $m \neq 0$.

1. Если основание степени $m$ положительно ($m > 0$), то значение выражения $m^n$ всегда положительно при любом целом $n$.

2. Если основание степени $m$ отрицательно ($m < 0$), то знак выражения $m^n$ зависит от четности показателя $n$: при четном $n$ значение $m^n$ будет положительным, а при нечетном $n$ значение $m^n$ будет отрицательным.