Номер 116, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 116, страница 36.

Условие.

116 Заполните таблицу. Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

$x$	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$2^x$
$(\frac{1}{2})^x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо последовательно вычислить значения функций $y=2^x$ и $y=(\frac{1}{2})^x$ для каждого заданного значения аргумента $x$.

Сначала заполним строку для функции $y=2^x$:

• При $x = -6$: $y = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
• При $x = -5$: $y = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
• При $x = -4$: $y = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
• При $x = -3$: $y = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
• При $x = -2$: $y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
• При $x = -1$: $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
• При $x = 0$: $y = 2^0 = 1$
• При $x = 1$: $y = 2^1 = 2$
• При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$
• При $x = 3$: $y = 2^3 = 8$
• При $x = 4$: $y = 2^4 = 16$
• При $x = 5$: $y = 2^5 = 32$
• При $x = 6$: $y = 2^6 = 64$

Затем заполним строку для функции $y=(\frac{1}{2})^x$:

• При $x = -6$: $y = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 = 64$
• При $x = -5$: $y = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$
• При $x = -4$: $y = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$
• При $x = -3$: $y = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
• При $x = -2$: $y = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
• При $x = -1$: $y = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$
• При $x = 0$: $y = (\frac{1}{2})^0 = 1$
• При $x = 1$: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
• При $x = 2$: $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
• При $x = 3$: $y = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
• При $x = 4$: $y = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$
• При $x = 5$: $y = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$
• При $x = 6$: $y = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$

Ответ:

$x$	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$2^x$	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8	16	32	64
$(\frac{1}{2})^x$	64	32	16	8	4	2	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{64}$

Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

При заполнении второй строки таблицы, где находится функция $y=(\frac{1}{2})^x$, можно использовать уже вычисленные значения из первой строки для $y=2^x$. Это возможно благодаря свойству степеней.

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{2})^x$. Его можно преобразовать следующим образом:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

Это тождество показывает, что значение функции $y=(\frac{1}{2})^x$ для любого $x$ равно значению функции $y=2^x$ для противоположного аргумента $-x$.

Например:

• Значение $(\frac{1}{2})^x$ при $x=4$ равно $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Это же значение имеет функция $2^x$ при $x=-4$, т.е. $2^{-4} = \frac{1}{16}$.
• Значение $(\frac{1}{2})^x$ при $x=-6$ равно $(\frac{1}{2})^{-6} = 64$. Это же значение имеет функция $2^x$ при $x=6$, т.е. $2^6 = 64$.

Таким образом, для заполнения второй строки можно взять значения из первой строки и записать их в обратном порядке (зеркально отразить относительно столбца $x=0$).

Другой способ использования результатов первой строки заключается в том, что для каждого конкретного значения $x$ значение функции $(\frac{1}{2})^x$ является обратной величиной к значению функции $2^x$.

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1^x}{2^x} = \frac{1}{2^x}$

Например, при $x=3$ значение в первой строке $2^3=8$, а во второй — $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Число $\frac{1}{8}$ является обратным к 8.

Ответ: Значения для строки $(\frac{1}{2})^x$ можно получить двумя способами, используя результаты из строки $2^x$:
1. Взять значения из строки $2^x$ и расположить их в зеркальном порядке, так как $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$.
2. Для каждого столбца $x$ вычислить величину, обратную значению в строке $2^x$, так как $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2^x}$.