Номер 118, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 118, страница 36.

Условие.

118 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $\frac{1}{2^{-3}}=2^3;$

б) $\frac{1}{a^{-4}}=a^4;$

в) $\frac{a}{b^{-2}}=ab^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать равенство $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3$, мы используем определение степени с отрицательным целым показателем. Согласно этому определению, для любого ненулевого числа $x$ и целого числа $n$, выполняется равенство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\frac{1}{2^{-3}}$.

Преобразуем знаменатель $2^{-3}$ с помощью указанного правила:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{2^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{2^3}}$

Деление числа на дробь эквивалентно умножению этого числа на дробь, обратную делителю (перевернутую). В нашем случае, мы делим 1 на дробь $\frac{1}{2^3}$.

$\frac{1}{\frac{1}{2^3}} = 1 \cdot \frac{2^3}{1} = 2^3$

В результате мы получили, что левая часть равенства равна $2^3$, что полностью совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равенства $\frac{1}{a^{-4}} = a^4$ (при условии $a \neq 0$) мы используем то же свойство степени с отрицательным показателем, что и в предыдущем пункте: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала рассмотрим знаменатель $a^{-4}$:

$a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{a^{-4}} = \frac{1}{\frac{1}{a^4}}$

Как и в предыдущем примере, деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$1 \cdot \frac{a^4}{1} = a^4$

Таким образом, мы показали, что левая часть $\frac{1}{a^{-4}}$ равна $a^4$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать равенство $\frac{a}{b^{-2}} = ab^2$ (при условии $b \neq 0$), преобразуем его левую часть.

Запишем дробь $\frac{a}{b^{-2}}$ в виде произведения:

$\frac{a}{b^{-2}} = a \cdot \frac{1}{b^{-2}}$

Теперь рассмотрим множитель $\frac{1}{b^{-2}}$. Основываясь на свойстве $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, которое следует из основного определения степени с отрицательным показателем (как было показано в пунктах а и б), мы можем упростить этот множитель.

Применим это свойство для $x=b$ и $n=2$:

$\frac{1}{b^{-2}} = b^2$

Подставим полученный результат $b^2$ обратно в наше произведение:

$a \cdot b^2 = ab^2$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Доказано.