Номер 120, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 120, страница 37.

Условие.

120 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}} $;

б) $ \frac{5^{2} \cdot 10^{-2}}{2^{-3}} $;

в) $ \frac{8^{-1}}{6^{2} \cdot 4^{-3}} $;

г) $ \frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это означает, что число в отрицательной степени в числителе можно перенести в знаменатель, изменив знак степени на положительный, и наоборот.
$\frac{2^{-3} \cdot 3}{4^{-1}} = \frac{3 \cdot 4^1}{2^3}$
Теперь вычислим значения степеней:
$4^1 = 4$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8}$
Сократим дробь на 4:
$\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}}$.
Сначала избавимся от отрицательных степеней, переместив множители между числителем и знаменателем:
$\frac{5^2 \cdot 10^{-2}}{2^{-3}} = \frac{5^2 \cdot 2^3}{10^2}$
Теперь представим число 10 в знаменателе как произведение простых множителей $10 = 2 \cdot 5$. Тогда $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
$\frac{5^2 \cdot 2^3}{2^2 \cdot 5^2}$
Сократим одинаковые множители ($5^2$) в числителе и знаменателе. Также применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
Ответ: 2

в) Найдем значение выражения $\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}}$.
Перенесем множители с отрицательными степенями:
$\frac{8^{-1}}{6^2 \cdot 4^{-3}} = \frac{4^3}{6^2 \cdot 8^1}$
Для упрощения представим основания степеней 4, 6 и 8 через их простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$.
$\frac{(2^2)^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot 2^3}$
Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3}}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3} = \frac{2^6}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3}$
В знаменателе используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^6}{2^{2+3} \cdot 3^2} = \frac{2^6}{2^5 \cdot 3^2}$
Сократим степени с основанием 2:
$\frac{2^{6-5}}{3^2} = \frac{2^1}{9} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

г) Найдем значение выражения $\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}}$.
Переместим множители с отрицательными степенями:
$\frac{8^{-2} \cdot 9^{-1}}{12^{-2}} = \frac{12^2}{8^2 \cdot 9^1}$
Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$.
$\frac{(2^2 \cdot 3)^2}{(2^3)^2 \cdot 3^2} = \frac{(2^2)^2 \cdot 3^2}{(2^3)^2 \cdot 3^2} = \frac{2^4 \cdot 3^2}{2^6 \cdot 3^2}$
Сократим $3^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2^4}{2^6}$
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:
$2^{4-6} = 2^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$