Номер 115, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 115, страница 36.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (115–116)

115 Представьте члены последовательности в виде степеней с одним и тем же натуральным основанием. Запишите три следующих члена последовательности. Какое число будет стоять в этой последовательности на 100-м месте? на месте с номером $n$?

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, ...

б) $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, ...

в) $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$, ...

г) $3$; $1$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; ...

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана последовательность: $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots $

Знаменатели дробей являются последовательными степенями числа 2: $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$. Следовательно, всю последовательность можно представить в виде степеней с натуральным основанием 2. Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$ \frac{1}{2} = 2^{-1} $

$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $

$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $

$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} $

Закономерность заключается в том, что показатель степени уменьшается на 1 с каждым следующим членом, и для n-го члена он равен $-n$.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $2^{-5} = \frac{1}{32}$

6-й член: $2^{-6} = \frac{1}{64}$

7-й член: $2^{-7} = \frac{1}{128}$

Число на 100-м месте будет равно $2^{-100}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 2^{-n}$ или $a_n = \frac{1}{2^n}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \frac{1}{128}$. На 100-м месте стоит число $2^{-100}$. На месте с номером $n$ стоит число $2^{-n}$.

б) Дана последовательность: $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $

Эту последовательность также можно представить в виде степеней с натуральным основанием 2:

$ 1 = 2^0 $

$ \frac{1}{2} = 2^{-1} $

$ \frac{1}{4} = 2^{-2} $

$ \frac{1}{8} = 2^{-3} $

Здесь показатель степени для n-го члена равен $1-n$. Проверим: для $n=1$ показатель $1-1=0$; для $n=2$ показатель $1-2=-1$, и так далее.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $2^{1-5} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

6-й член: $2^{1-6} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$

7-й член: $2^{1-7} = 2^{-6} = \frac{1}{64}$

Число на 100-м месте будет равно $2^{1-100} = 2^{-99}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 2^{1-n}$ или $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$. На 100-м месте стоит число $2^{-99}$. На месте с номером $n$ стоит число $2^{1-n}$.

в) Дана последовательность: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots $

Знаменатели дробей являются последовательными степенями числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, \dots$. Представим члены последовательности в виде степеней с натуральным основанием 3:

$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $

$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $

Закономерность аналогична пункту а): показатель степени для n-го члена равен $-n$.

Следующие три члена последовательности будут:

4-й член: $3^{-4} = \frac{1}{81}$

5-й член: $3^{-5} = \frac{1}{243}$

6-й член: $3^{-6} = \frac{1}{729}$

Число на 100-м месте будет равно $3^{-100}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 3^{-n}$ или $a_n = \frac{1}{3^n}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}$. На 100-м месте стоит число $3^{-100}$. На месте с номером $n$ стоит число $3^{-n}$.

г) Дана последовательность: $ 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots $

Эту последовательность можно представить в виде степеней с натуральным основанием 3:

$ 3 = 3^1 $

$ 1 = 3^0 $

$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $

$ \frac{1}{9} = 3^{-2} $

Здесь показатель степени для n-го члена равен $2-n$. Проверим: для $n=1$ показатель $2-1=1$; для $n=2$ показатель $2-2=0$, и так далее.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

6-й член: $3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$

7-й член: $3^{2-7} = 3^{-5} = \frac{1}{243}$

Число на 100-м месте будет равно $3^{2-100} = 3^{-98}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 3^{2-n}$ или $a_n = \frac{1}{3^{n-2}}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}$. На 100-м месте стоит число $3^{-98}$. На месте с номером $n$ стоит число $3^{2-n}$.