Номер 111, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 111, страница 35.

Условие.

1111 Сравните числа $a$ и $a^{-1}$, если:

a) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

В) $-1 < a < 0$;

Г) $a < -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для сравнения чисел $a$ и $a^{-1}$ (что то же самое, что и $\frac{1}{a}$), удобно рассмотреть их разность $a - a^{-1}$ и определить её знак. Приведём разность к общему знаменателю: $a - a^{-1} = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a}$. Знак этого выражения зависит от знаков числителя ($a^2 - 1$) и знаменателя ($a$). Если $a - a^{-1} > 0$, то $a > a^{-1}$. Если $a - a^{-1} < 0$, то $a < a^{-1}$.

а) $0 < a < 1$

В этом случае знаменатель $a$ является положительным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $0 < a < 1$, то при возведении в квадрат этого неравенства получим $0^2 < a^2 < 1^2$, то есть $0 < a^2 < 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет отрицательным числом (например, если $a = 0.5$, то $a^2 = 0.25$, и $0.25 - 1 = -0.75$). Таким образом, мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель, и результат будет отрицательным: $\frac{a^2 - 1}{a} < 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} < 0$, а значит $a < a^{-1}$.
Ответ: $a < a^{-1}$.

б) $a > 1$

В этом случае знаменатель $a$ также является положительным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $a > 1$, то при возведении в квадрат получим $a^2 > 1^2$, то есть $a^2 > 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет положительным числом. Таким образом, мы делим положительный числитель на положительный знаменатель, и результат будет положительным: $\frac{a^2 - 1}{a} > 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} > 0$, а значит $a > a^{-1}$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

в) $-1 < a < 0$

В этом случае знаменатель $a$ является отрицательным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $-1 < a < 0$, то при возведении в квадрат этого двойного неравенства знаки поменяются, и мы получим $0 < a^2 < (-1)^2$, то есть $0 < a^2 < 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет отрицательным числом. Таким образом, мы делим отрицательный числитель на отрицательный знаменатель, и результат будет положительным (минус на минус дает плюс): $\frac{a^2 - 1}{a} > 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} > 0$, а значит $a > a^{-1}$.
Ответ: $a > a^{-1}$.

г) $a < -1$

В этом случае знаменатель $a$ также является отрицательным числом. Определим знак числителя $a^2 - 1$. Поскольку $a < -1$, то при возведении в квадрат знак неравенства поменяется, и мы получим $a^2 > (-1)^2$, то есть $a^2 > 1$. Следовательно, $a^2 - 1$ будет положительным числом. Таким образом, мы делим положительный числитель на отрицательный знаменатель, и результат будет отрицательным: $\frac{a^2 - 1}{a} < 0$. Из этого следует, что $a - a^{-1} < 0$, а значит $a < a^{-1}$.
Ответ: $a < a^{-1}$.