Номер 106, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 106, страница 35.

Условие.

106 Замените выражение равным, не содержащим отрицательных показателей:

a) $a^{-3}$;

б) $(5x)^{-2}$;

в) $xy^{-1}$;

г) $3m^2n^{-2}$;

д) $a^{-2} + b^{-2}$;

е) $(u - v)^{-2}$;

ж) $-10yz^{-19}$;

з) $2(a + c)^{-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы избавиться от отрицательного показателя в выражении $a^{-3}$, мы используем определение степени с целым отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого ненулевого $x$. В данном случае $x = a$ и $n = 3$.
Применив это правило, получаем:
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
Ответ: $\frac{1}{a^3}$

б) В выражении $(5x)^{-2}$ основанием степени является произведение $5x$. Сначала применяем правило для степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где в качестве $x$ выступает все выражение в скобках.
$(5x)^{-2} = \frac{1}{(5x)^2}$
Далее, раскрываем скобки в знаменателе, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{1}{(5x)^2} = \frac{1}{5^2 \cdot x^2} = \frac{1}{25x^2}$
Ответ: $\frac{1}{25x^2}$

в) В выражении $xy^{-1}$ отрицательный показатель степени относится только к переменной $y$. Переменная $x$ остается без изменений. Преобразуем $y^{-1}$:
$y^{-1} = \frac{1}{y^1} = \frac{1}{y}$
Теперь подставим полученное выражение обратно:
$xy^{-1} = x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{y}$
Ответ: $\frac{x}{y}$

г) В выражении $3m^2n^{-2}$ отрицательный показатель $-2$ относится только к множителю $n$. Множители $3$ и $m^2$ остаются в числителе. Преобразуем $n^{-2}$:
$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$
Запишем все выражение в виде одной дроби:
$3m^2n^{-2} = 3m^2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{3m^2}{n^2}$
Ответ: $\frac{3m^2}{n^2}$

д) Выражение $a^{-2} + b^{-2}$ представляет собой сумму двух слагаемых с отрицательными показателями. Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
Следовательно, сумма примет вид:
$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

е) В выражении $(u - v)^{-2}$ основанием степени является вся скобка $(u-v)$. Применяем правило для отрицательной степени:
$(u - v)^{-2} = \frac{1}{(u - v)^2}$
Знаменатель можно оставить в виде квадрата разности.
Ответ: $\frac{1}{(u-v)^2}$

ж) В выражении $-10yz^{-19}$ отрицательный показатель степени $-19$ относится только к переменной $z$. Множитель $-10y$ остается без изменений. Преобразуем $z^{-19}$:
$z^{-19} = \frac{1}{z^{19}}$
Теперь запишем все выражение в виде дроби:
$-10yz^{-19} = -10y \cdot \frac{1}{z^{19}} = -\frac{10y}{z^{19}}$
Ответ: $-\frac{10y}{z^{19}}$

з) В выражении $2(a + c)^{-3}$ отрицательная степень $-3$ относится ко всему выражению в скобках $(a + c)$. Множитель $2$ остается в числителе. Преобразуем $(a + c)^{-3}$:
$(a+c)^{-3} = \frac{1}{(a+c)^3}$
Умножим полученную дробь на 2:
$2(a+c)^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{(a+c)^3} = \frac{2}{(a+c)^3}$
Ответ: $\frac{2}{(a+c)^3}$