Номер 100, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 100, страница 31.

Условие.

100 а) $(m + 3 + \frac{9}{m-3}) : (\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2});$

б) $(\frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1}) : (\frac{1}{n+1} + n - 1);$

в) $(\frac{x^3}{y^3} + 1) : (\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

г) $(1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2}) : (\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\left( m + 3 + \frac{9}{m-3} \right) : \left( \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Для этого приведем слагаемые к общему знаменателю $m-3$.

$m + 3 + \frac{9}{m-3} = \frac{(m+3)(m-3)}{m-3} + \frac{9}{m-3} = \frac{m^2-9+9}{m-3} = \frac{m^2}{m-3}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $(3-m)^2 = (m-3)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(m-3)^2$.

$\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} = \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m(m-3)}{(m-3)^2} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2-3m+3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{(m-3)^2}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{m^2}{m-3} : \frac{m^2}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{m-3} \cdot \frac{(m-3)^2}{m^2} = \frac{m^2 \cdot (m-3)^2}{(m-3) \cdot m^2} = m-3$

Ответ: $m-3$.

б) $\left( \frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1} \right) : \left( \frac{1}{n+1} + n - 1 \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $1+2n+n^2 = (1+n)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(n+1)^2$.

$\frac{n}{(1+n)^2} - \frac{n}{n+1} = \frac{n}{(n+1)^2} - \frac{n(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{n - (n^2+n)}{(n+1)^2} = \frac{n - n^2 - n}{(n+1)^2} = \frac{-n^2}{(n+1)^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $n+1$.

$\frac{1}{n+1} + n - 1 = \frac{1}{n+1} + \frac{(n-1)(n+1)}{n+1} = \frac{1 + (n^2-1)}{n+1} = \frac{1+n^2-1}{n+1} = \frac{n^2}{n+1}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{-n^2}{(n+1)^2} : \frac{n^2}{n+1} = \frac{-n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{n+1}{n^2} = -\frac{n^2(n+1)}{(n+1)^2 n^2} = -\frac{1}{n+1}$

Ответ: $-\frac{1}{n+1}$.

в) $\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\frac{x^3}{y^3} + 1 = \frac{x^3+y^3}{y^3} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot xy}{xy^2} + \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} : \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2} = \frac{(x+y) \cdot x}{y} = \frac{x(x+y)}{y}$

Ответ: $\frac{x(x+y)}{y}$.

г) $\left( 1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} \right) : \left( \frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $u^2$.

$1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2}{u^2} + \frac{vu}{u^2} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $vu^3$. В числителе получится разность кубов $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$.

$\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} = \frac{u^3}{vu^3} - \frac{v^2 \cdot v}{vu^3} = \frac{u^3-v^3}{vu^3} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{u^2+uv+v^2}{u^2} : \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2} \cdot \frac{vu^3}{(u-v)(u^2+uv+v^2)} = \frac{vu}{u-v}$

Ответ: $\frac{uv}{u-v}$.