Номер 98, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 98, страница 31.

Условие.

98 Выразите из формулы каждую переменную через остальные переменные:

а) $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$;

б) $\frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана формула: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$. Необходимо выразить каждую переменную ($R, r_1, r_2$) через остальные.

1. Выражение переменной $R$
Чтобы выразить $R$, сначала найдем общий знаменатель для дробей в правой части уравнения: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_2}{r_1 r_2} + \frac{r_1}{r_1 r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$.
Теперь формула имеет вид: $\frac{1}{R} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$.
Чтобы найти $R$, возьмем обратную величину (перевернем) от обеих частей уравнения:
$R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.

2. Выражение переменной $r_1$
Из исходной формулы выделим слагаемое с $r_1$:
$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_2}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{R} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2}{R r_2} - \frac{R}{R r_2} = \frac{r_2 - R}{R r_2}$.
Получаем: $\frac{1}{r_1} = \frac{r_2 - R}{R r_2}$.
Теперь, чтобы найти $r_1$, перевернем обе части уравнения:
$r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}$.

3. Выражение переменной $r_2$
Аналогично выражению $r_1$, выделим слагаемое с $r_2$ из исходной формулы:
$\frac{1}{r_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_1}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{R} - \frac{1}{r_1} = \frac{r_1}{R r_1} - \frac{R}{R r_1} = \frac{r_1 - R}{R r_1}$.
Получаем: $\frac{1}{r_2} = \frac{r_1 - R}{R r_1}$.
Перевернем обе части уравнения, чтобы найти $r_2$:
$r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}$.

Ответ: $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$; $r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}$; $r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}$.

б) Дана формула: $\frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$. Необходимо выразить каждую переменную ($D, d_1, d_2$) через остальные.

Эта формула имеет аналогичную структуру с формулой из пункта а), поэтому все преобразования будут такими же.

1. Выражение переменной $D$
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{D} = \frac{d_2 + d_1}{d_1 d_2}$.
Возьмем обратную величину от обеих частей: $D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

2. Выражение переменной $d_1$
Выделим слагаемое с $d_1$: $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_2}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_1} = \frac{d_2 - D}{D d_2}$.
Возьмем обратную величину: $d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}$.

3. Выражение переменной $d_2$
Выделим слагаемое с $d_2$: $\frac{1}{d_2} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_1}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_2} = \frac{d_1 - D}{D d_1}$.
Возьмем обратную величину: $d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}$.

Ответ: $D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$; $d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}$; $d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}$.