Номер 101, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 101, страница 32.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ (101–102)

101 Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

a) $\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left(\frac{a + 4b}{a^2 - 4ab} - \frac{a - 4b}{a^2 + 4ab}\right);$

б) $\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left(\frac{x - 3y}{x^2 + 3xy} + \frac{x + 3y}{3xy - x^2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left( \frac{a+4b}{a^2-4ab} - \frac{a-4b}{a^2+4ab} \right)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: $a^2-4ab = a(a-4b)$ и $a^2+4ab = a(a+4b)$. Общий знаменатель равен $a(a-4b)(a+4b)$.

$\frac{a+4b}{a(a-4b)} - \frac{a-4b}{a(a+4b)} = \frac{(a+4b)^2 - (a-4b)^2}{a(a-4b)(a+4b)}$

Числитель можно упростить, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и разности: $(a^2+8ab+16b^2) - (a^2-8ab+16b^2) = a^2+8ab+16b^2 - a^2+8ab-16b^2 = 16ab$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{16ab}{a(a-4b)(a+4b)} = \frac{16b}{(a-4b)(a+4b)}$.

Теперь выполним умножение. Преобразуем первый множитель, вынеся минус за скобки: $\frac{16b^2-a^2}{4b} = \frac{-(a^2-16b^2)}{4b} = \frac{-(a-4b)(a+4b)}{4b}$.

Перемножим полученные выражения: $\frac{-(a-4b)(a+4b)}{4b} \cdot \frac{16b}{(a-4b)(a+4b)}$.

Сократим общие множители $(a-4b)$, $(a+4b)$ и $b$: $\frac{-1 \cdot 16}{4} = -4$.

Значение выражения равно -4, оно не зависит от значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: -4

б) Упростим выражение $\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left( \frac{x-3y}{x^2+3xy} + \frac{x+3y}{3xy-x^2} \right)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2+3xy = x(x+3y)$ и $3xy-x^2 = x(3y-x) = -x(x-3y)$.

$\frac{x-3y}{x(x+3y)} + \frac{x+3y}{-x(x-3y)} = \frac{x-3y}{x(x+3y)} - \frac{x+3y}{x(x-3y)}$.

Приведем к общему знаменателю $x(x+3y)(x-3y)$: $\frac{(x-3y)^2 - (x+3y)^2}{x(x+3y)(x-3y)}$.

Упростим числитель: $(x^2-6xy+9y^2) - (x^2+6xy+9y^2) = x^2-6xy+9y^2 - x^2-6xy-9y^2 = -12xy$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{-12xy}{x(x-3y)(x+3y)} = \frac{-12y}{(x-3y)(x+3y)}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь. Заметим, что $9y^2-x^2 = -(x^2-9y^2) = -(x-3y)(x+3y)$.

$\frac{3y}{9y^2-x^2} : \frac{-12y}{(x-3y)(x+3y)} = \frac{3y}{-(x-3y)(x+3y)} \cdot \frac{(x-3y)(x+3y)}{-12y}$.

Сократим общие множители $(x-3y)$, $(x+3y)$ и $y$: $\frac{3}{-1} \cdot \frac{1}{-12} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4}$.

Значение выражения равно $1/4$, оно не зависит от значений переменных $x$ и $y$.

Ответ: $\frac{1}{4}$