Номер 95, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 95, страница 30.

Условие.

95 Выполните возведение в квадрат:

а) $(a + \frac{1}{a})^2$; в) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$;

б) $(n - \frac{1}{n})^2$; г) $(\frac{1}{2x} - x)^2$.

Подсказка. Можно воспользоваться формулами $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого в каждом случае определите, какое выражение надо подставить в формулу вместо $a$ и какое — вместо $b$, и примените формулу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для возведения в квадрат выражения $(a + \frac{1}{a})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае первый член $x=a$, а второй член $y=\frac{1}{a}$.

Подставляем эти значения в формулу и выполняем преобразования:

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot \frac{a}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.

Ответ: $a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$.

б) Для выражения $(n - \frac{1}{n})^2$ применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=n$ и $y=\frac{1}{n}$.

Подставляем в формулу и упрощаем:

$(n - \frac{1}{n})^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2 = n^2 - 2 \cdot \frac{n}{n} + \frac{1}{n^2} = n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.

Ответ: $n^2 - 2 + \frac{1}{n^2}$.

в) Для возведения в квадрат выражения $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2$ снова используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В этом примере $x=\frac{a}{b}$ и $y=\frac{b}{a}$.

Подставляем и вычисляем:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{ab}{ba} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{b^2} + 2 + \frac{b^2}{a^2}$.

г) Для выражения $(\frac{1}{2x} - x)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь первый член $x=\frac{1}{2x}$, а второй член $y=x$.

Подставляем значения в формулу и упрощаем результат:

$(\frac{1}{2x} - x)^2 = (\frac{1}{2x})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot x + x^2 = \frac{1^2}{(2x)^2} - \frac{2x}{2x} + x^2 = \frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2} - 1 + x^2$.