Номер 108, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 108, страница 35.

Условие.

108 Найдите значение выражения:

а) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$;

б) $\left(\frac{4}{3}\right)^{-2}$;

в) $\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}$;

г) $(-0,3)^{-3}$;

д) $(-1,5)^{-2}$;

е) $\left(-\frac{8}{7}\right)^{0}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы возвести дробь в отрицательную степень, необходимо воспользоваться свойством $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Для дроби это свойство выглядит так: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $. Это означает, что мы "переворачиваем" дробь и меняем знак показателя степени на противоположный.

Применим это правило:

$ (\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $.

Ответ: $ 27 $

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

Переворачиваем дробь и возводим в квадрат:

$ (\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $.

Ответ: $ \frac{9}{16} $

в) Аналогично предыдущим примерам, переворачиваем дробь и меняем знак степени на положительный.

$ (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $.

Этот результат также можно записать в виде десятичной дроби: $ \frac{4}{25} = 0,16 $.

Ответ: $ \frac{4}{25} $

г) Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ -0,3 = -\frac{3}{10} $.

Теперь выражение принимает вид: $ (-\frac{3}{10})^{-3} $. Применяем правило для отрицательной степени:

$ (-\frac{3}{10})^{-3} = (-\frac{10}{3})^3 $.

Поскольку показатель степени ($3$) — нечетное число, знак "минус" у основания сохраняется в результате:

$ (-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27} $.

Ответ: $ -\frac{1000}{27} $

д) Представим десятичное число $ -1,5 $ в виде обыкновенной дроби: $ -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2} $.

Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$ (-\frac{3}{2})^{-2} = (-\frac{2}{3})^2 $.

Поскольку показатель степени ($2$) — четное число, результат возведения отрицательного основания в такую степень будет положительным:

$ (-\frac{2}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{4}{9} $

е) Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Это основное свойство степени: $ a^0 = 1 $ при $ a \neq 0 $.

В данном случае основание степени $ -\frac{8}{7} $ не равно нулю, следовательно:

$ (-\frac{8}{7})^0 = 1 $.

Ответ: $ 1 $