Номер 109, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 109, страница 35.

Условие.

109 Какое выражение равно $2^{-n}$?

1) $-2^n$

2) $\frac{1}{2^{-n}}$

3) $\frac{1}{2^n}$

4) $-\frac{1}{2^n}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какое из предложенных выражений равно $2^{-n}$, воспользуемся определением степени с отрицательным целым показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого числа $n$ справедливо равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

В нашем случае основание степени $a = 2$. Применяя данное правило к выражению $2^{-n}$, получаем:

$2^{-n} = \frac{1}{2^n}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа:

1) Выражение $-2^n$ является противоположным числу $2^n$. Оно не равно $2^{-n}$. Например, при $n=2$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, а $-2^2 = -4$.

2) Выражение $\frac{1}{2^{-n}}$. Используя то же свойство степени с отрицательным показателем для знаменателя, получаем: $\frac{1}{2^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{2^n}} = 1 \cdot \frac{2^n}{1} = 2^n$. Это выражение не равно $2^{-n}$ (за исключением случая $n=0$).

3) Выражение $\frac{1}{2^n}$ полностью совпадает с результатом, полученным нами при применении определения степени с отрицательным показателем. Следовательно, это правильный вариант.

4) Выражение $-\frac{1}{2^n}$ является противоположным числу $\frac{1}{2^n}$. Оно равно $-2^{-n}$, а не $2^{-n}$.

Таким образом, выражение, равное $2^{-n}$, находится под номером 3.

Ответ: 3