Страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

131В прошлом году в России было отправлено $9,2 \cdot 10^7$ телеграмм, из них 0,5 % — международные. Сколько международных телеграмм было отправлено в прошлом году?

Чтобы найти количество международных телеграмм, необходимо вычислить 0,5% от общего числа отправленных телеграмм, которое составляет $9,2 \cdot 10^7$.

1. Переведем проценты в десятичную дробь.

Для этого нужно разделить число процентов на 100:

$0,5\% = \frac{0,5}{100} = 0,005$

2. Найдем количество международных телеграмм.

Умножим общее количество телеграмм на полученную долю:

$(9,2 \cdot 10^7) \cdot 0,005$

Для удобства вычислений представим множители в стандартном виде и сгруппируем их:

$0,005 = 5 \cdot 10^{-3}$

$(9,2 \cdot 10^7) \cdot (5 \cdot 10^{-3}) = (9,2 \cdot 5) \cdot (10^7 \cdot 10^{-3})$

Выполним вычисления по частям:

$9,2 \cdot 5 = 46$

$10^7 \cdot 10^{-3} = 10^{7-3} = 10^4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$46 \cdot 10^4 = 46 \cdot 10000 = 460000$

Таким образом, в прошлом году было отправлено 460 000 международных телеграмм.

Ответ: 460 000.

132 При решении задачи считайте, что численность населения России примерно равна 140 млн человек (в вычислениях используйте калькулятор).

а) За год в России было выпито 12 млрд чашек чая «Новый». Сколько это в среднем на человека?

б) В прошлом году в России было издано 1,3 млрд экземпляров книг. Сколько книг издано в среднем на одного человека?

в) Территория России составляет $1,7 \cdot 10^7 \text{ км}^2$. Определите плотность населения в России (среднее число жителей на 1 км$^2$).

а) Чтобы найти среднее количество чашек чая на одного человека, разделим общее количество выпитых чашек на численность населения России.

Общее количество чашек: $12 \text{ млрд} = 12 \cdot 10^9$.

Численность населения: $140 \text{ млн} = 140 \cdot 10^6$.

Среднее количество на человека вычисляется по формуле:

$ \frac{12 \cdot 10^9}{140 \cdot 10^6} = \frac{12 \cdot 1000 \cdot 10^6}{140 \cdot 10^6} = \frac{12000}{140} = \frac{1200}{14} \approx 85,71 $

Округляя до целого числа, получаем, что в среднем на одного человека приходится около 86 чашек чая в год.

Ответ: примерно 86 чашек.

б) Для определения среднего количества книг, изданных на одного человека, разделим общее количество экземпляров книг на численность населения.

Общее количество книг: $1,3 \text{ млрд} = 1,3 \cdot 10^9$.

Численность населения: $140 \text{ млн} = 140 \cdot 10^6$.

Среднее количество книг на человека:

$ \frac{1,3 \cdot 10^9}{140 \cdot 10^6} = \frac{1,3 \cdot 1000 \cdot 10^6}{140 \cdot 10^6} = \frac{1300}{140} = \frac{130}{14} \approx 9,2857 $

Округляя результат до десятых, получаем, что в среднем на одного человека издано около 9,3 книги.

Ответ: примерно 9,3 книги.

в) Плотность населения – это отношение численности населения к площади территории. Она показывает среднее число жителей на 1 км².

Численность населения: $140 \text{ млн} = 140 \cdot 10^6 = 1,4 \cdot 10^8$ человек.

Территория России: $1,7 \cdot 10^7 \text{ км}^2$.

Плотность населения:

$ \frac{\text{Численность населения}}{\text{Площадь территории}} = \frac{1,4 \cdot 10^8 \text{ чел.}}{1,7 \cdot 10^7 \text{ км}^2} = \frac{14 \cdot 10^7 \text{ чел.}}{1,7 \cdot 10^7 \text{ км}^2} = \frac{14}{1,7} \approx 8,235 \text{ чел./км}^2 $

Округлив результат до сотых, получим плотность населения России.

Ответ: примерно 8,24 чел./км².

133 При каких значениях m верно равенство:

а) $5^m = 625$;

б) $2^m = \frac{1}{32}$;

в) $3^{-m} = 27$;

г) $\frac{1}{10^m} = 10000$?

а) Дано равенство $5^m = 625$.
Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание $5$.
Представим число $625$ в виде степени числа $5$:
$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Теперь исходное равенство можно записать как:
$5^m = 5^4$.
Поскольку основания степеней равны, то для выполнения равенства должны быть равны и их показатели.
Следовательно, $m = 4$.
Ответ: $m=4$.

б) Дано равенство $2^m = \frac{1}{32}$.
Приведем обе части уравнения к основанию $2$.
Сначала представим число $32$ как степень числа $2$:
$32 = 2^5$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.
Подставим это в исходное равенство:
$2^m = 2^{-5}$.
Приравнивая показатели степеней, так как основания равны, получаем:
$m = -5$.
Ответ: $m=-5$.

в) Дано равенство $3^{-m} = 27$.
Приведем обе части уравнения к основанию $3$.
Представим число $27$ в виде степени числа $3$:
$27 = 3^3$.
Исходное равенство принимает вид:
$3^{-m} = 3^3$.
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$-m = 3$.
Чтобы найти $m$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$m = -3$.
Ответ: $m=-3$.

г) Дано равенство $\frac{1}{10^m} = 10\,000$.
Приведем обе части уравнения к основанию $10$.
Левую часть преобразуем, используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{10^m} = 10^{-m}$.
Правую часть, число $10\,000$, представим в виде степени числа $10$:
$10\,000 = 10^4$.
Теперь равенство выглядит так:
$10^{-m} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$-m = 4$.
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $m$:
$m = -4$.
Ответ: $m=-4$.

134 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^5;$

б) $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10};$

в) $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n.$

Для доказательства данных равенств мы будем использовать свойства степеней. Основное свойство, которое понадобится, — это определение степени с отрицательным показателем: для любого ненулевого числа $x$ и целого числа $n$ справедливо равенство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

а) Докажем, что $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^{5}$.

Преобразуем левую часть равенства:

1. Применим свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{8}{9})^{-5} = \frac{1}{(\frac{8}{9})^5}$.

2. Теперь используем правило возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $\frac{1}{(\frac{8}{9})^5} = \frac{1}{\frac{8^5}{9^5}}$.

3. Деление единицы на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $\frac{1}{\frac{8^5}{9^5}} = \frac{9^5}{8^5}$.

4. Применяя правило возведения дроби в степень в обратном порядке $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем: $\frac{9^5}{8^5} = (\frac{9}{8})^5$.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Равенство доказано.

Ответ: Доказательство: $(\frac{8}{9})^{-5} = \frac{1}{(\frac{8}{9})^5} = \frac{1}{\frac{8^5}{9^5}} = \frac{9^5}{8^5} = (\frac{9}{8})^5$. Равенство верно.

б) Докажем, что $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

Это равенство является частным случаем общего свойства, которое будет доказано в пункте в). Согласно этому свойству, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применим это правило напрямую к левой части нашего выражения, где $a=3$, $b=4$ и $n=10$:

$(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

Мы сразу получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Согласно свойству степени с отрицательным показателем, основание степени (дробь) переворачивается, а показатель степени меняет знак на противоположный: $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

в) Докажем тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ (при $a \ne 0, b \ne 0$).

Это общее правило, которое объясняет результаты в пунктах а) и б). Проведем пошаговое доказательство.

1. Начнем с левой части $(\frac{a}{b})^{-n}$. По определению степени с отрицательным показателем:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$.

2. Применим к знаменателю правило возведения дроби в степень:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$.

3. Выполним деление на дробь, что равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n}$.

4. И, наконец, воспользуемся правилом возведения дроби в степень в обратном порядке:

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$.

Мы преобразовали левую часть равенства в правую. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем последовательного применения свойств степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$.

135 Вычислите, пользуясь доказанным в предыдущем упражнении свойством:

а) $(\frac{2}{3})^{-3}$; в) $(\frac{3}{2})^{-5}$; д) $(-\frac{1}{3})^{-4}$; ж) $0,1^{-3}$;

б) $(\frac{1}{4})^{-3}$; г) $(\frac{7}{8})^{-2}$; е) $(-\frac{2}{5})^{-3}$; з) $0,5^{-2}$.

Для решения данных задач воспользуемся свойством степени с целым отрицательным показателем для дроби, которое гласит: для любых $a \ne 0$, $b \ne 0$ и целого $n$ справедливо равенство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Это означает, что чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и возвести полученную дробь в ту же степень, но с положительным показателем.

а) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.
Ответ: $\frac{27}{8}$.

б) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$.
Ответ: $64$.

в) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Ответ: $\frac{32}{243}$.

г) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{7}{8})^{-2} = (\frac{8}{7})^2 = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}$.
Ответ: $\frac{64}{49}$.

д) Свойство также работает для отрицательных оснований. Так как показатель степени $(-4)$ является четным числом, итоговый результат будет положительным:
$(-\frac{1}{3})^{-4} = (-\frac{3}{1})^4 = (-3)^4 = 81$.
Ответ: $81$.

е) В этом случае показатель степени $(-3)$ — нечетное число, поэтому знак минус у основания сохранится в результате:
$(-\frac{2}{5})^{-3} = (-\frac{5}{2})^3 = -(\frac{5}{2})^3 = -\frac{5^3}{2^3} = -\frac{125}{8}$.
Ответ: $-\frac{125}{8}$.

ж) Сначала представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$, а затем применим свойство:
$0,1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^3 = 10^3 = 1000$.
Ответ: $1000$.

з) Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и применим свойство:
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$.

136 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $ (\frac{2}{3})^{-4} $; $ \frac{2}{3} $; $ (\frac{3}{2})^{-4} $; $ (\frac{3}{2})^{0} $;

б) $ (2,5)^{-3} $; $ 2,5 $; $ (2,5)^{-5} $; $ 2,5^{0} $.

а) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить или упростить каждое из них, чтобы их можно было сравнить.

Данные числа: $(\frac{2}{3})^{-4}$; $\frac{2}{3}$; $(\frac{3}{2})^{-4}$; $(\frac{3}{2})^{0}$.

1. Упростим первое число, используя свойство степени с отрицательным показателем $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^{4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

2. Второе число — это дробь $\frac{2}{3}$.

3. Упростим третье число по тому же свойству:
$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

4. Упростим четвертое число, используя свойство нулевой степени $a^0=1$ (для $a \neq 0$):
$(\frac{3}{2})^{0} = 1$.

Теперь у нас есть четыре числа для сравнения: $\frac{81}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{16}{81}$, $1$.

Сравним их.
Дробь $\frac{16}{81}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому $\frac{16}{81} < 1$.
Дробь $\frac{2}{3}$ также является правильной, поэтому $\frac{2}{3} < 1$.
Дробь $\frac{81}{16}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому $\frac{81}{16} > 1$.
Теперь сравним две дроби, которые меньше единицы: $\frac{16}{81}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю $81$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{54}{81}$.
Так как $16 < 54$, то $\frac{16}{81} < \frac{54}{81}$, а значит $\frac{16}{81} < \frac{2}{3}$.

Теперь мы можем расположить все числа в порядке возрастания:
$\frac{16}{81} < \frac{2}{3} < 1 < \frac{81}{16}$.

Подставим исходные выражения:
$(\frac{3}{2})^{-4} < \frac{2}{3} < (\frac{3}{2})^{0} < (\frac{2}{3})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{3}{2})^{-4}; \frac{2}{3}; (\frac{3}{2})^{0}; (\frac{2}{3})^{-4}$.

б) В этом наборе все числа являются степенями одного и того же основания $2,5$.

Данные числа: $(2,5)^{-3}$; $2,5$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$.

Представим число $2,5$ в виде степени: $2,5 = 2,5^1$. Тогда ряд чисел выглядит так: $(2,5)^{-3}$; $2,5^1$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$.

Основание степени $a = 2,5$ больше 1. Для показательной функции $y=a^x$ с основанием $a > 1$ действует правило: чем больше показатель степени $x$, тем больше значение функции $y$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, достаточно расположить в порядке возрастания их показатели степени.

Показатели степеней: $-3$, $1$, $-5$, $0$.

Расположим показатели в порядке возрастания:
$-5 < -3 < 0 < 1$.

Соответственно, и сами числа будут расположены в таком же порядке:

$(2,5)^{-5} < (2,5)^{-3} < (2,5)^0 < 2,5^1$.

Запишем ответ, используя исходные выражения.

Ответ: $(2,5)^{-5}; (2,5)^{-3}; 2,5^0; 2,5$.

137 Расположите в порядке убывания числа:

a) $(\frac{4}{9})^{-5}$; $(\frac{4}{9})^{-6}$; $\frac{4}{9}$; $(\frac{4}{9})^{0}$

б) $(0,8)^{-8}$; $(0,8)^{0}$; $0,8$; $(0,8)^{-6}$

а) Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. Все числа представляют собой степени с одинаковым основанием $ \frac{4}{9} $. Запишем все члены ряда в виде степени с этим основанием: $ (\frac{4}{9})^{-5} $; $ (\frac{4}{9})^{-6} $; $ \frac{4}{9} = (\frac{4}{9})^{1} $; $ (\frac{4}{9})^{0} $.
Основание степени $ a = \frac{4}{9} $ является положительным числом, меньшим единицы ($ 0 < a < 1 $). Степенная функция $ y = a^x $ с таким основанием является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Следовательно, чтобы расположить степени в порядке убывания, их показатели нужно расположить в порядке возрастания.
Сравним показатели степеней: $ -5, -6, 1, 0 $.
В порядке возрастания они располагаются так: $ -6 < -5 < 0 < 1 $.
Соответственно, значения степеней будут расположены в обратном (убывающем) порядке: $ (\frac{4}{9})^{-6} > (\frac{4}{9})^{-5} > (\frac{4}{9})^{0} > (\frac{4}{9})^{1} $.
Ответ: $ (\frac{4}{9})^{-6} $; $ (\frac{4}{9})^{-5} $; $ (\frac{4}{9})^{0} $; $ \frac{4}{9} $.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим все числа в виде степени с основанием $ 0,8 $: $ (0,8)^{-8} $; $ (0,8)^{0} $; $ 0,8 = (0,8)^{1} $; $ (0,8)^{-6} $.
Основание степени $ a = 0,8 $ также удовлетворяет условию $ 0 < a < 1 $. Степенная функция $ y = a^x $ с таким основанием является убывающей. Значит, чтобы расположить числа в порядке убывания, их показатели степеней нужно расположить в порядке возрастания.
Сравним показатели степеней: $ -8, 0, 1, -6 $.
В порядке возрастания они располагаются так: $ -8 < -6 < 0 < 1 $.
Следовательно, значения степеней будут расположены в обратном (убывающем) порядке: $ (0,8)^{-8} > (0,8)^{-6} > (0,8)^{0} > (0,8)^{1} $.
Ответ: $ (0,8)^{-8} $; $ (0,8)^{-6} $; $ (0,8)^{0} $; $ 0,8 $.

138 РАССУЖДАЕМ Сравните числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$ (рис. 1.6, а, б).

а) 0, 1, $a$

б) 0, $a$, 1

Рис. 1.6

а) Из рисунка 1.6, а, мы видим, что число $a$ находится на числовой прямой правее 1. Это означает, что $a > 1$. Нам нужно сравнить числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ и $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$. Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$. Так как $a > 1$, то при возведении в большую степень число увеличивается. Сравним знаменатели $a^2$ и $a^3$. Поскольку $a$ — положительное число, мы можем умножить неравенство $a > 1$ на $a^2$ (что тоже является положительным числом), не меняя знака неравенства: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2$, что приводит к $a^3 > a^2$. Мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями, равными 1. Та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше. Поскольку $a^3 > a^2$, то $\frac{1}{a^3} < \frac{1}{a^2}$. Следовательно, $a^{-3} < a^{-2}$.

Ответ: $a^{-2} > a^{-3}$

б) Из рисунка 1.6, б, мы видим, что число $a$ находится между 0 и 1. Это означает, что $0 < a < 1$. Снова сравним числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$, которые равны $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$ соответственно. Сравним знаменатели $a^2$ и $a^3$. Так как $0 < a < 1$, то при возведении в большую степень положительное число, меньшее единицы, уменьшается. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2$, что приводит к $a^3 < a^2$. Мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями, равными 1. Та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Поскольку $a^3 < a^2$, то $\frac{1}{a^3} > \frac{1}{a^2}$. Следовательно, $a^{-3} > a^{-2}$.

Ответ: $a^{-2} < a^{-3}$