Номер 134, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 134, страница 39.

Условие.

134 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^5;$

б) $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10};$

в) $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данных равенств мы будем использовать свойства степеней. Основное свойство, которое понадобится, — это определение степени с отрицательным показателем: для любого ненулевого числа $x$ и целого числа $n$ справедливо равенство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

а) Докажем, что $(\frac{8}{9})^{-5} = (\frac{9}{8})^{5}$.

Преобразуем левую часть равенства:

1. Применим свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{8}{9})^{-5} = \frac{1}{(\frac{8}{9})^5}$.

2. Теперь используем правило возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $\frac{1}{(\frac{8}{9})^5} = \frac{1}{\frac{8^5}{9^5}}$.

3. Деление единицы на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $\frac{1}{\frac{8^5}{9^5}} = \frac{9^5}{8^5}$.

4. Применяя правило возведения дроби в степень в обратном порядке $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем: $\frac{9^5}{8^5} = (\frac{9}{8})^5$.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Равенство доказано.

Ответ: Доказательство: $(\frac{8}{9})^{-5} = \frac{1}{(\frac{8}{9})^5} = \frac{1}{\frac{8^5}{9^5}} = \frac{9^5}{8^5} = (\frac{9}{8})^5$. Равенство верно.

б) Докажем, что $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

Это равенство является частным случаем общего свойства, которое будет доказано в пункте в). Согласно этому свойству, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применим это правило напрямую к левой части нашего выражения, где $a=3$, $b=4$ и $n=10$:

$(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

Мы сразу получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Согласно свойству степени с отрицательным показателем, основание степени (дробь) переворачивается, а показатель степени меняет знак на противоположный: $(\frac{3}{4})^{-10} = (\frac{4}{3})^{10}$.

в) Докажем тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ (при $a \ne 0, b \ne 0$).

Это общее правило, которое объясняет результаты в пунктах а) и б). Проведем пошаговое доказательство.

1. Начнем с левой части $(\frac{a}{b})^{-n}$. По определению степени с отрицательным показателем:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$.

2. Применим к знаменателю правило возведения дроби в степень:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$.

3. Выполним деление на дробь, что равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n}$.

4. И, наконец, воспользуемся правилом возведения дроби в степень в обратном порядке:

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$.

Мы преобразовали левую часть равенства в правую. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем последовательного применения свойств степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$.