Номер 136, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 136, страница 39.

Условие.

136 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $ (\frac{2}{3})^{-4} $; $ \frac{2}{3} $; $ (\frac{3}{2})^{-4} $; $ (\frac{3}{2})^{0} $;

б) $ (2,5)^{-3} $; $ 2,5 $; $ (2,5)^{-5} $; $ 2,5^{0} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить или упростить каждое из них, чтобы их можно было сравнить.

Данные числа: $(\frac{2}{3})^{-4}$; $\frac{2}{3}$; $(\frac{3}{2})^{-4}$; $(\frac{3}{2})^{0}$.

1. Упростим первое число, используя свойство степени с отрицательным показателем $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^{4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

2. Второе число — это дробь $\frac{2}{3}$.

3. Упростим третье число по тому же свойству:
$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

4. Упростим четвертое число, используя свойство нулевой степени $a^0=1$ (для $a \neq 0$):
$(\frac{3}{2})^{0} = 1$.

Теперь у нас есть четыре числа для сравнения: $\frac{81}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{16}{81}$, $1$.

Сравним их.
Дробь $\frac{16}{81}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому $\frac{16}{81} < 1$.
Дробь $\frac{2}{3}$ также является правильной, поэтому $\frac{2}{3} < 1$.
Дробь $\frac{81}{16}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому $\frac{81}{16} > 1$.
Теперь сравним две дроби, которые меньше единицы: $\frac{16}{81}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю $81$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{54}{81}$.
Так как $16 < 54$, то $\frac{16}{81} < \frac{54}{81}$, а значит $\frac{16}{81} < \frac{2}{3}$.

Теперь мы можем расположить все числа в порядке возрастания:
$\frac{16}{81} < \frac{2}{3} < 1 < \frac{81}{16}$.

Подставим исходные выражения:
$(\frac{3}{2})^{-4} < \frac{2}{3} < (\frac{3}{2})^{0} < (\frac{2}{3})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{3}{2})^{-4}; \frac{2}{3}; (\frac{3}{2})^{0}; (\frac{2}{3})^{-4}$.

б) В этом наборе все числа являются степенями одного и того же основания $2,5$.

Данные числа: $(2,5)^{-3}$; $2,5$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$.

Представим число $2,5$ в виде степени: $2,5 = 2,5^1$. Тогда ряд чисел выглядит так: $(2,5)^{-3}$; $2,5^1$; $(2,5)^{-5}$; $2,5^0$.

Основание степени $a = 2,5$ больше 1. Для показательной функции $y=a^x$ с основанием $a > 1$ действует правило: чем больше показатель степени $x$, тем больше значение функции $y$.

Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, достаточно расположить в порядке возрастания их показатели степени.

Показатели степеней: $-3$, $1$, $-5$, $0$.

Расположим показатели в порядке возрастания:
$-5 < -3 < 0 < 1$.

Соответственно, и сами числа будут расположены в таком же порядке:

$(2,5)^{-5} < (2,5)^{-3} < (2,5)^0 < 2,5^1$.

Запишем ответ, используя исходные выражения.

Ответ: $(2,5)^{-5}; (2,5)^{-3}; 2,5^0; 2,5$.