Номер 135, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 135, страница 39.

Условие.

135 Вычислите, пользуясь доказанным в предыдущем упражнении свойством:

а) $(\frac{2}{3})^{-3}$; в) $(\frac{3}{2})^{-5}$; д) $(-\frac{1}{3})^{-4}$; ж) $0,1^{-3}$;

б) $(\frac{1}{4})^{-3}$; г) $(\frac{7}{8})^{-2}$; е) $(-\frac{2}{5})^{-3}$; з) $0,5^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных задач воспользуемся свойством степени с целым отрицательным показателем для дроби, которое гласит: для любых $a \ne 0$, $b \ne 0$ и целого $n$ справедливо равенство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Это означает, что чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и возвести полученную дробь в ту же степень, но с положительным показателем.

а) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.
Ответ: $\frac{27}{8}$.

б) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$.
Ответ: $64$.

в) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Ответ: $\frac{32}{243}$.

г) Применяя указанное свойство, получаем:
$(\frac{7}{8})^{-2} = (\frac{8}{7})^2 = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}$.
Ответ: $\frac{64}{49}$.

д) Свойство также работает для отрицательных оснований. Так как показатель степени $(-4)$ является четным числом, итоговый результат будет положительным:
$(-\frac{1}{3})^{-4} = (-\frac{3}{1})^4 = (-3)^4 = 81$.
Ответ: $81$.

е) В этом случае показатель степени $(-3)$ — нечетное число, поэтому знак минус у основания сохранится в результате:
$(-\frac{2}{5})^{-3} = (-\frac{5}{2})^3 = -(\frac{5}{2})^3 = -\frac{5^3}{2^3} = -\frac{125}{8}$.
Ответ: $-\frac{125}{8}$.

ж) Сначала представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$, а затем применим свойство:
$0,1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^3 = 10^3 = 1000$.
Ответ: $1000$.

з) Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и применим свойство:
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$.