Номер 138, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 138, страница 39.

Условие.

138 РАССУЖДАЕМ Сравните числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$ (рис. 1.6, а, б).

а) 0, 1, $a$

б) 0, $a$, 1

Рис. 1.6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Из рисунка 1.6, а, мы видим, что число $a$ находится на числовой прямой правее 1. Это означает, что $a > 1$. Нам нужно сравнить числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ и $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$. Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$. Так как $a > 1$, то при возведении в большую степень число увеличивается. Сравним знаменатели $a^2$ и $a^3$. Поскольку $a$ — положительное число, мы можем умножить неравенство $a > 1$ на $a^2$ (что тоже является положительным числом), не меняя знака неравенства: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2$, что приводит к $a^3 > a^2$. Мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями, равными 1. Та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше. Поскольку $a^3 > a^2$, то $\frac{1}{a^3} < \frac{1}{a^2}$. Следовательно, $a^{-3} < a^{-2}$.

Ответ: $a^{-2} > a^{-3}$

б) Из рисунка 1.6, б, мы видим, что число $a$ находится между 0 и 1. Это означает, что $0 < a < 1$. Снова сравним числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$, которые равны $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$ соответственно. Сравним знаменатели $a^2$ и $a^3$. Так как $0 < a < 1$, то при возведении в большую степень положительное число, меньшее единицы, уменьшается. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2$, что приводит к $a^3 < a^2$. Мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями, равными 1. Та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Поскольку $a^3 < a^2$, то $\frac{1}{a^3} > \frac{1}{a^2}$. Следовательно, $a^{-3} > a^{-2}$.

Ответ: $a^{-2} < a^{-3}$