Номер 133, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Степень с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 133, страница 39.

Условие.

133 При каких значениях m верно равенство:

а) $5^m = 625$;

б) $2^m = \frac{1}{32}$;

в) $3^{-m} = 27$;

г) $\frac{1}{10^m} = 10000$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано равенство $5^m = 625$.
Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание $5$.
Представим число $625$ в виде степени числа $5$:
$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Теперь исходное равенство можно записать как:
$5^m = 5^4$.
Поскольку основания степеней равны, то для выполнения равенства должны быть равны и их показатели.
Следовательно, $m = 4$.
Ответ: $m=4$.

б) Дано равенство $2^m = \frac{1}{32}$.
Приведем обе части уравнения к основанию $2$.
Сначала представим число $32$ как степень числа $2$:
$32 = 2^5$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.
Подставим это в исходное равенство:
$2^m = 2^{-5}$.
Приравнивая показатели степеней, так как основания равны, получаем:
$m = -5$.
Ответ: $m=-5$.

в) Дано равенство $3^{-m} = 27$.
Приведем обе части уравнения к основанию $3$.
Представим число $27$ в виде степени числа $3$:
$27 = 3^3$.
Исходное равенство принимает вид:
$3^{-m} = 3^3$.
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$-m = 3$.
Чтобы найти $m$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$m = -3$.
Ответ: $m=-3$.

г) Дано равенство $\frac{1}{10^m} = 10\,000$.
Приведем обе части уравнения к основанию $10$.
Левую часть преобразуем, используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{10^m} = 10^{-m}$.
Правую часть, число $10\,000$, представим в виде степени числа $10$:
$10\,000 = 10^4$.
Теперь равенство выглядит так:
$10^{-m} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$-m = 4$.
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $m$:
$m = -4$.
Ответ: $m=-4$.