Страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

153 Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ и найдите его значение при заданном значении $a$:

a) $\frac{a^{-3} \cdot a^7}{a^6}$, $a = 10$;

б) $\frac{a^{18}}{a^{-10} \cdot a^{31}}$, $a = \frac{1}{5}$;

В) $a^{-14}(a^{-2})^{-5}$, $a = \frac{2}{3}$;

Г) $\frac{1}{a^{-10}} \cdot \frac{1}{a^{12}}$, $a = -4$.

а)
Чтобы представить выражение в виде степени с основанием $a$, воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сначала упростим числитель дроби:
$a^{-3} \cdot a^7 = a^{-3+7} = a^4$
Теперь разделим полученный результат на знаменатель:
$\frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2}$
Таким образом, выражение представлено в виде степени $a^{-2}$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a=10$:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
Ответ: $a^{-2}$; $0,01$.

б)
Сначала представим выражение в виде степени с основанием $a$.
Упростим знаменатель дроби, используя правило умножения степеней:
$a^{-10} \cdot a^{31} = a^{-10+31} = a^{21}$
Теперь разделим числитель на полученный знаменатель, используя правило деления степеней:
$\frac{a^{18}}{a^{21}} = a^{18-21} = a^{-3}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-3}$.
Найдем значение этого выражения при $a=\frac{1}{5}$. Воспользуемся свойством $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 125$
Ответ: $a^{-3}$; $125$.

в)
Для упрощения выражения воспользуемся свойствами: возведение степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) и умножение степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала упростим второй множитель:
$(a^{-2})^{-5} = a^{(-2) \cdot (-5)} = a^{10}$
Теперь выполним умножение:
$a^{-14} \cdot a^{10} = a^{-14+10} = a^{-4}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-4}$.
Найдем значение этого выражения при $a=\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$
Ответ: $a^{-4}$; $\frac{81}{16}$.

г)
Для упрощения выражения воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и наоборот $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Перепишем дроби в виде степеней:
$\frac{1}{a^{-10}} = a^{10}$
$\frac{1}{a^{12}} = a^{-12}$
Теперь перемножим полученные степени:
$a^{10} \cdot a^{-12} = a^{10+(-12)} = a^{-2}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-2}$.
Найдем значение этого выражения при $a=-4$:
$(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $a^{-2}$; $\frac{1}{16}$.

154 a) Нанометр — это миллиардная часть метра, т. е. $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$. Выразите 1 нм в: км; см; мм; мкм.

Образец. Найдем, какую часть микрона составляет 1 нанометр. Микрон (другое название — микрометр) — это тысячная доля миллиметра, т. е. миллионная доля метра; $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$.

$1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$, $ \frac{1 \text{ нм}}{1 \text{ мкм}} = \frac{10^{-9} \text{ м}}{10^{-6} \text{ м}} = 10^{-3}$, т. е. $1 \text{ нм} = 10^{-3} \text{ мкм}$.

б) Данные на компакт-диски записываются в виде углублений, имеющих размеры 100 нм глубины и 500 нм ширины. Выразите эти размеры в метрах.

в) В современных технологиях производства микросхем используются элементы размером от 25 до 45 нм, и в будущем эти размеры планируют уменьшить до 15 нм. Выразите эти данные в метрах.

а) Чтобы выразить 1 нанометр (нм) в других единицах, используем основное соотношение $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$ и стандартные метрические соотношения.
- В километрах (км): так как $1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$, то $1 \text{ м} = 10^{-3} \text{ км}$. Поэтому $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot 10^{-3} \text{ км} = 10^{-12} \text{ км}$.
- В сантиметрах (см): так как $1 \text{ м} = 10^2 \text{ см}$, то $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot 10^2 \text{ см} = 10^{-7} \text{ см}$.
- В миллиметрах (мм): так как $1 \text{ м} = 10^3 \text{ мм}$, то $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot 10^3 \text{ мм} = 10^{-6} \text{ мм}$.
- В микрометрах (мкм): так как $1 \text{ м} = 10^6 \text{ мкм}$, то $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \cdot 10^6 \text{ мкм} = 10^{-3} \text{ мкм}$.
Ответ: $1 \text{ нм} = 10^{-12} \text{ км}; 1 \text{ нм} = 10^{-7} \text{ см}; 1 \text{ нм} = 10^{-6} \text{ мм}; 1 \text{ нм} = 10^{-3} \text{ мкм}$.

б) Для перевода размеров углублений на компакт-диске из нанометров в метры, используем соотношение $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$.
- Глубина: $100 \text{ нм} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 10^2 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 10^{-7} \text{ м}$.
- Ширина: $500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^2 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.
Ответ: глубина углублений составляет $10^{-7} \text{ м}$, а ширина – $5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.

в) Чтобы выразить размеры элементов микросхем в метрах, применим то же соотношение: $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$.
- Размеры современных элементов (от 25 нм до 45 нм):
$25 \text{ нм} = 25 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.
$45 \text{ нм} = 45 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.
- Планируемый в будущем размер (15 нм):
$15 \text{ нм} = 15 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.
Ответ: размеры элементов составляют от $2.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$ до $4.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$; планируемый размер – $1.5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$.

155 Выполните вычисления и результат представьте в десятичной записи:

а) $(1,8 \cdot 10^3) \cdot (2 \cdot 10^4)$

б) $(2,1 \cdot 10^{-5}) \cdot (6 \cdot 10^7)$

в) $(3 \cdot 10^6) \cdot (6,4 \cdot 10^{-10})$

г) $(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (3,2 \cdot 10^{-1})$

д) $\frac{6,6 \cdot 10^5}{1,1 \cdot 10^7}$

е) $\frac{5,6 \cdot 10^{-2}}{7 \cdot 10^3}$

ж) $\frac{6 \cdot 10^{-8}}{1,2 \cdot 10^{-4}}$

з) $\frac{1,9 \cdot 10^{-5}}{3,8 \cdot 10^{-3}}$

а) $(1,8 \cdot 10^3) \cdot (2 \cdot 10^4)$

Чтобы выполнить умножение чисел в стандартной форме, мы отдельно перемножаем числовые коэффициенты и отдельно степени десяти. Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(1,8 \cdot 10^3) \cdot (2 \cdot 10^4) = (1,8 \cdot 2) \cdot (10^3 \cdot 10^4) = 3,6 \cdot 10^{3+4} = 3,6 \cdot 10^7$.

Теперь представим результат в десятичной записи, переместив запятую на 7 знаков вправо.

$3,6 \cdot 10^7 = 36 \ 000 \ 000$.

Ответ: $36 \ 000 \ 000$.

б) $(2,1 \cdot 10^{-5}) \cdot (6 \cdot 10^7)$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени десяти и перемножим их по отдельности.

$(2,1 \cdot 6) \cdot (10^{-5} \cdot 10^7) = 12,6 \cdot 10^{-5+7} = 12,6 \cdot 10^2$.

Представим результат в десятичной записи. Умножение на $10^2$ эквивалентно сдвигу запятой на 2 знака вправо.

$12,6 \cdot 10^2 = 1260$.

Ответ: $1260$.

в) $(3 \cdot 10^6) \cdot (6,4 \cdot 10^{-10})$

Перемножим числовые коэффициенты и степени десяти.

$(3 \cdot 6,4) \cdot (10^6 \cdot 10^{-10}) = 19,2 \cdot 10^{6+(-10)} = 19,2 \cdot 10^{-4}$.

Для представления результата в десятичной записи переместим запятую на 4 знака влево.

$19,2 \cdot 10^{-4} = 0,00192$.

Ответ: $0,00192$.

г) $(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (3,2 \cdot 10^{-1})$

Выполним умножение числовых коэффициентов и степеней десяти.

$(5 \cdot 3,2) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{-1}) = 16 \cdot 10^{-3+(-1)} = 16 \cdot 10^{-4}$.

Представим результат в десятичной записи, сдвинув запятую на 4 знака влево.

$16 \cdot 10^{-4} = 0,0016$.

Ответ: $0,0016$.

д) $\frac{6,6 \cdot 10^5}{1,1 \cdot 10^7}$

Чтобы выполнить деление чисел в стандартной форме, мы отдельно делим числовые коэффициенты и отдельно степени десяти. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{6,6}{1,1} \cdot \frac{10^5}{10^7} = 6 \cdot 10^{5-7} = 6 \cdot 10^{-2}$.

Представим результат в десятичной записи. Умножение на $10^{-2}$ эквивалентно сдвигу запятой на 2 знака влево.

$6 \cdot 10^{-2} = 0,06$.

Ответ: $0,06$.

е) $\frac{5,6 \cdot 10^{-2}}{7 \cdot 10^3}$

Разделим числовые коэффициенты и степени десяти по отдельности.

$\frac{5,6}{7} \cdot \frac{10^{-2}}{10^3} = 0,8 \cdot 10^{-2-3} = 0,8 \cdot 10^{-5}$.

Представим результат в десятичной записи, переместив запятую на 5 знаков влево.

$0,8 \cdot 10^{-5} = 0,000008$.

Ответ: $0,000008$.

ж) $\frac{6 \cdot 10^{-8}}{1,2 \cdot 10^{-4}}$

Выполним деление числовых коэффициентов и степеней десяти.

$\frac{6}{1,2} \cdot \frac{10^{-8}}{10^{-4}} = 5 \cdot 10^{-8-(-4)} = 5 \cdot 10^{-8+4} = 5 \cdot 10^{-4}$.

Запишем результат в виде десятичной дроби, сдвинув запятую на 4 знака влево.

$5 \cdot 10^{-4} = 0,0005$.

Ответ: $0,0005$.

з) $\frac{1,9 \cdot 10^{-5}}{3,8 \cdot 10^{-3}}$

Выполним деление числовых коэффициентов и степеней десяти.

$\frac{1,9}{3,8} \cdot \frac{10^{-5}}{10^{-3}} = 0,5 \cdot 10^{-5-(-3)} = 0,5 \cdot 10^{-5+3} = 0,5 \cdot 10^{-2}$.

Представим результат в десятичной записи. Умножение на $10^{-2}$ эквивалентно сдвигу запятой на 2 знака влево.

$0,5 \cdot 10^{-2} = 0,005$.

Ответ: $0,005$.

156 Представьте в виде степени с основанием 2:

a) $4^x \cdot 4^y$; $8^x : 8^y$; $\left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^y$.

б) $4^{-n} \cdot 4^{2n}$; $\frac{16^{8n}}{16^{2n}}$; $((0,25)^{-3})^n$.

Для выражения $4^x \cdot 4^y$:
Сначала представим основание 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
Подставим это в исходное выражение: $4^x \cdot 4^y = (2^2)^x \cdot (2^2)^y$.
Используя свойство возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$, получаем: $2^{2x} \cdot 2^{2y}$.
Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), складываем показатели: $2^{2x} \cdot 2^{2y} = 2^{2x+2y}$.
Ответ: $2^{2x+2y}$

Для выражения $8^x : 8^y$ (знак ":" обозначает деление):
Представим основание 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
Подставим это в выражение: $8^x : 8^y = (2^3)^x : (2^3)^y$.
По свойству возведения степени в степень: $(2^3)^x = 2^{3x}$ и $(2^3)^y = 2^{3y}$.
Выражение принимает вид: $2^{3x} : 2^{3y}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), вычитаем показатели: $2^{3x - 3y}$.
Ответ: $2^{3x-3y}$

Для выражения $((\frac{1}{4})^x)^y$:
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставим это в выражение: $((2^{-2})^x)^y$.
Используя свойство возведения степени в степень, последовательно перемножаем показатели: $2^{(-2) \cdot x \cdot y} = 2^{-2xy}$.
Ответ: $2^{-2xy}$

Для выражения $4^{-n} \cdot 4^{2n}$:
Представим основание 4 как $2^2$: $4^{-n} \cdot 4^{2n} = (2^2)^{-n} \cdot (2^2)^{2n}$.
Применим свойство возведения степени в степень: $2^{-2n} \cdot 2^{4n}$.
Теперь, по свойству умножения степеней, сложим показатели: $2^{-2n+4n} = 2^{2n}$.
Ответ: $2^{2n}$

Для выражения $\frac{16^{8n}}{16^{2n}}$:
Представим основание 16 как $2^4$: $\frac{(2^4)^{8n}}{(2^4)^{2n}}$.
Применим свойство возведения степени в степень к числителю и знаменателю: $\frac{2^{4 \cdot 8n}}{2^{4 \cdot 2n}} = \frac{2^{32n}}{2^{8n}}$.
По свойству деления степеней, вычтем показатель знаменателя из показателя числителя: $2^{32n-8n} = 2^{24n}$.
Ответ: $2^{24n}$

Для выражения $((0,25)^{-3})^n$:
Представим десятичную дробь 0,25 как степень с основанием 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставим это в исходное выражение: $((2^{-2})^{-3})^n$.
По свойству возведения степени в степень, перемножим все показатели: $2^{(-2) \cdot (-3) \cdot n} = 2^{6n}$.
Ответ: $2^{6n}$