Страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

166 a) $ \frac{x+5}{2} - \frac{x}{3} = 8; $

б) $ \frac{x}{5} - \frac{x-1}{3} = 3; $

В) $ \frac{1-x}{7} = 1 - \frac{2-x}{3}; $

Г) $ \frac{2x-1}{3} - 3 = \frac{x}{4}. $

а)

Дано уравнение: $\frac{x+5}{2} - \frac{x}{3} = 8$.

Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 3. Это число 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \left(\frac{x+5}{2} - \frac{x}{3}\right) = 6 \cdot 8$

$\frac{6(x+5)}{2} - \frac{6x}{3} = 48$

$3(x+5) - 2x = 48$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x + 15 - 2x = 48$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 15 = 48$

Перенесем 15 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 48 - 15$

$x = 33$

Ответ: $x=33$

б)

Дано уравнение: $\frac{x}{5} - \frac{x-1}{3} = 3$.

Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 — это 15. Умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \left(\frac{x}{5} - \frac{x-1}{3}\right) = 15 \cdot 3$

$\frac{15x}{5} - \frac{15(x-1)}{3} = 45$

$3x - 5(x-1) = 45$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:

$3x - 5x + 5 = 45$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x + 5 = 45$

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$-2x = 45 - 5$

$-2x = 40$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{40}{-2}$

$x = -20$

Ответ: $x=-20$

в)

Дано уравнение: $\frac{1-x}{7} = 1 - \frac{2-x}{3}$.

Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 — это 21. Умножим обе части уравнения на 21:

$21 \cdot \frac{1-x}{7} = 21 \cdot \left(1 - \frac{2-x}{3}\right)$

$\frac{21(1-x)}{7} = 21 \cdot 1 - \frac{21(2-x)}{3}$

$3(1-x) = 21 - 7(2-x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3 - 3x = 21 - 14 + 7x$

Упростим правую часть:

$3 - 3x = 7 + 7x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$-3x - 7x = 7 - 3$

$-10x = 4$

Разделим обе части на -10:

$x = \frac{4}{-10}$

$x = -0.4$

Ответ: $x=-0.4$

г)

Дано уравнение: $\frac{2x-1}{3} - 3 = \frac{x}{4}$.

Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \left(\frac{2x-1}{3} - 3\right) = 12 \cdot \frac{x}{4}$

$\frac{12(2x-1)}{3} - 12 \cdot 3 = \frac{12x}{4}$

$4(2x-1) - 36 = 3x$

Раскроем скобки:

$8x - 4 - 36 = 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x - 40 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$8x - 3x = 40$

$5x = 40$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{40}{5}$

$x = 8$

Ответ: $x=8$

167 a) $ \frac{x}{3} - 2 = x; $

б) $ x - \frac{3-4x}{2} = 3; $

В) $ 4 - x = \frac{x+5}{8}; $

Г) $ \frac{1-4x}{9} - 5 = 2x. $

а) Дано уравнение $\frac{x}{3} - 2 = x$.

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 3:

$3 \cdot (\frac{x}{3} - 2) = 3 \cdot x$

$3 \cdot \frac{x}{3} - 3 \cdot 2 = 3x$

$x - 6 = 3x$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $x$ вправо, изменив знак:

$-6 = 3x - x$

$-6 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-6}{2}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

б) Дано уравнение $x - \frac{3 - 4x}{2} = 3$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot (x - \frac{3 - 4x}{2}) = 2 \cdot 3$

$2x - (3 - 4x) = 6$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что перед скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$2x - 3 + 4x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6x - 3 = 6$

Перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$6x = 6 + 3$

$6x = 9$

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$x = \frac{9}{6}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$

Ответ: $x = 1.5$.

в) Дано уравнение $4 - x = \frac{x + 5}{8}$.

Умножим обе части уравнения на 8:

$8 \cdot (4 - x) = 8 \cdot \frac{x + 5}{8}$

$32 - 8x = x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону (например, вправо), а числа — в другую (влево):

$32 - 5 = x + 8x$

Приведем подобные слагаемые:

$27 = 9x$

Разделим обе части на 9, чтобы найти $x$:

$x = \frac{27}{9}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г) Дано уравнение $\frac{1 - 4x}{9} - 5 = 2x$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на 9:

$9 \cdot (\frac{1 - 4x}{9} - 5) = 9 \cdot 2x$

$9 \cdot \frac{1 - 4x}{9} - 9 \cdot 5 = 18x$

$1 - 4x - 45 = 18x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-44 - 4x = 18x$

Перенесем слагаемое $-4x$ в правую часть, изменив знак:

$-44 = 18x + 4x$

$-44 = 22x$

Найдем $x$, разделив обе части на 22:

$x = \frac{-44}{22}$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

168 Решите уравнение (воспользуйтесь примером 2 из текста):

а) $0,26x - 0,05(x - 3) = 0,06x;$

б) $0,12 + 0,76x = 0,66(x + 1);$

в) $0,06(x - 3) + 0,005(x - 4) = -0,005;$

г) $0,005(x + 2) = 0,007x + 0,001(x - 5).$

а) $0,26x - 0,05(x - 3) = 0,06x$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:
$100 \cdot (0,26x - 0,05(x - 3)) = 100 \cdot 0,06x$
$26x - 5(x - 3) = 6x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$26x - 5x + 15 = 6x$
Приведем подобные слагаемые:
$21x + 15 = 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$21x - 6x = -15$
$15x = -15$
Найдем $x$, разделив обе части на 15:
$x = \frac{-15}{15}$
$x = -1$
Ответ: -1

б) $0,12 + 0,76x = 0,66(x + 1)$
Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$100 \cdot (0,12 + 0,76x) = 100 \cdot 0,66(x + 1)$
$12 + 76x = 66(x + 1)$
Раскроем скобки в правой части:
$12 + 76x = 66x + 66$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$76x - 66x = 66 - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$10x = 54$
Найдем $x$:
$x = \frac{54}{10}$
$x = 5,4$
Ответ: 5,4

в) $0,06(x - 3) + 0,005(x - 4) = -0,005$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 1000:
$1000 \cdot (0,06(x - 3) + 0,005(x - 4)) = 1000 \cdot (-0,005)$
$60(x - 3) + 5(x - 4) = -5$
Раскроем скобки:
$60x - 180 + 5x - 20 = -5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(60x + 5x) + (-180 - 20) = -5$
$65x - 200 = -5$
Перенесем свободный член в правую часть:
$65x = -5 + 200$
$65x = 195$
Найдем $x$:
$x = \frac{195}{65}$
$x = 3$
Ответ: 3

г) $0,005(x + 2) = 0,007x + 0,001(x - 5)$
Умножим обе части уравнения на 1000, чтобы избавиться от дробей:
$1000 \cdot 0,005(x + 2) = 1000 \cdot (0,007x + 0,001(x - 5)) $
$5(x + 2) = 7x + 1(x - 5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5x + 10 = 7x + x - 5$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$5x + 10 = 8x - 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую сторону, а числа — в левую:
$10 + 5 = 8x - 5x$
$15 = 3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$
Ответ: 5

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой величину, о которой спрашивается, и решите задачу. Затем составьте какое-нибудь другое уравнение (169—173).

169 Отдел имеет премиальный фонд, и к концу квартала каждому сотруднику планировалось выдать премию в размере 500 р. Но 2 сотрудника ушли из отдела, поэтому каждый получил по 700 р. Сколько рублей было в премиальном фонде?

Составление уравнения по вопросу задачи и решение

В задаче требуется найти размер премиального фонда. Обозначим эту величину буквой $x$.

Согласно первоначальному плану, каждому сотруднику должны были выдать по 500 р. Следовательно, количество сотрудников в отделе можно выразить через $x$ как $\frac{x}{500}$.

После того как 2 сотрудника покинули отдел, количество оставшихся сотрудников стало $(\frac{x}{500} - 2)$.

Каждому из оставшихся сотрудников выплатили по 700 р. Общая сумма этих выплат равна всему премиальному фонду, то есть $x$. На основании этого мы можем составить уравнение:

$700 \cdot (\frac{x}{500} - 2) = x$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$:

$700 \cdot \frac{x}{500} - 700 \cdot 2 = x$
$\frac{700x}{500} - 1400 = x$
$\frac{7}{5}x - 1400 = x$
$\frac{7}{5}x - x = 1400$
$\frac{7x - 5x}{5} = 1400$
$\frac{2x}{5} = 1400$
$2x = 1400 \cdot 5$
$2x = 7000$
$x = \frac{7000}{2}$
$x = 3500$

Таким образом, в премиальном фонде было 3500 рублей.

Ответ: 3500 рублей.

Составление другого уравнения

Для составления другого уравнения выберем в качестве неизвестной величины первоначальное количество сотрудников в отделе и обозначим его буквой $n$.

Исходя из первоначального плана, весь премиальный фонд составляет $500 \cdot n$ рублей.

После ухода двух сотрудников их количество стало $(n - 2)$. Каждый из них получил по 700 рублей, следовательно, премиальный фонд также равен $700 \cdot (n - 2)$ рублей.

Поскольку размер премиального фонда не менялся, мы можем приравнять эти два выражения:

$500n = 700(n - 2)$

Это и есть другое уравнение для решения задачи. Решив его, можно найти $n$:

$500n = 700n - 1400$
$700n - 500n = 1400$
$200n = 1400$
$n = \frac{1400}{200}$
$n = 7$

Мы выяснили, что изначально в отделе было 7 сотрудников. Теперь мы можем найти размер премиального фонда, подставив значение $n$ в одно из выражений для фонда:

Премиальный фонд $= 500 \cdot n = 500 \cdot 7 = 3500$ рублей.

Ответ: 3500 рублей.

170 Сергей ходит от дома до стадиона пешком со скоростью 4 км/ч. Однажды он отправился из дома в обычное время, но поехал на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На стадион он приехал на 15 мин раньше обычного. Чему равно расстояние от дома до стадиона?

Пусть $S$ — искомое расстояние от дома до стадиона в километрах.

Скорость Сергея пешком $v_1 = 4$ км/ч.
Скорость Сергея на велосипеде $v_2 = 12$ км/ч.

Время, которое Сергей тратит, чтобы дойти до стадиона пешком, можно выразить формулой $t_1 = S/v_1$.
$t_1 = S/4$ часа.

Время, которое он тратит, чтобы доехать до стадиона на велосипеде, равно $t_2 = S/v_2$.
$t_2 = S/12$ часа.

По условию задачи, на велосипеде Сергей приехал на 15 минут раньше, чем обычно. Это означает, что разница во времени $t_1 - t_2$ составляет 15 минут.
Переведем 15 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:
$15 \text{ мин} = 15/60 \text{ ч} = 1/4 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени к $1/4$ часа:
$t_1 - t_2 = 1/4$
$S/4 - S/12 = 1/4$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю 12:
$(3 \cdot S)/(3 \cdot 4) - S/12 = 1/4$
$(3S)/12 - S/12 = 1/4$
$(3S - S)/12 = 1/4$
$(2S)/12 = 1/4$

Сократим дробь в левой части:
$S/6 = 1/4$

Теперь найдем $S$, умножив обе части уравнения на 6:
$S = 6/4$
$S = 1.5$ км.

Таким образом, расстояние от дома до стадиона составляет 1,5 км.
Ответ: 1,5 км.

171 Таня вышла из дома и направилась к бассейну со скоростью 50 м/мин. Через 4 мин из этого же дома вышел Андрей и пошёл к бассейну со скоростью 60 м/мин вслед за Таней. Найдите расстояние от дома до бассейна, если они пришли туда одновременно.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомое расстояние от дома до бассейна в метрах, а $t$ — время, которое был в пути Андрей, в минутах.

Известны скорости Тани и Андрея:

• Скорость Тани: $v_Т = 50$ м/мин.
• Скорость Андрея: $v_А = 60$ м/мин.

Таня вышла из дома на 4 минуты раньше Андрея. Это означает, что ее время в пути было на 4 минуты больше, чем время Андрея. Таким образом, время Тани в пути составляет $t_Т = t + 4$ минут.

Расстояние, которое прошел каждый из них, можно выразить формулой $S = v \times t$. Так как они вышли из одного дома и пришли в один и тот же бассейн, они прошли одинаковое расстояние.

Расстояние, пройденное Андреем: $S = v_А \times t = 60t$.

Расстояние, пройденное Таней: $S = v_Т \times t_Т = 50 \times (t + 4)$.

Поскольку расстояния равны, мы можем составить и решить уравнение: $60t = 50(t + 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $60t = 50t + 200$

Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть: $60t - 50t = 200$ $10t = 200$

Найдем $t$: $t = 200 / 10$ $t = 20$ минут.

Итак, время Андрея в пути составило 20 минут. Теперь, зная его время и скорость, мы можем найти расстояние от дома до бассейна: $S = 60 \text{ м/мин} \times 20 \text{ мин} = 1200$ метров.

Для проверки можно вычислить расстояние, используя данные Тани. Ее время в пути: $t + 4 = 20 + 4 = 24$ минуты. $S = 50 \text{ м/мин} \times 24 \text{ мин} = 1200$ метров.

Так как результаты совпали, задача решена верно.

Ответ: расстояние от дома до бассейна равно 1200 метров.

172 Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 30 км. Из $A$ в направлении $B$ выехал мотоциклист со скоростью 40 км/ч. Одновременно из $B$ в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. На каком расстоянии от пункта $B$ мотоциклист догонит велосипедиста?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: через относительную скорость или через составление уравнений движения.

Способ 1: Использование скорости сближения

1. Поскольку мотоциклист и велосипедист движутся в одном направлении, мотоциклист будет догонять велосипедиста. Скорость их сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста} = 40 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Начальное расстояние между ними равно расстоянию между пунктами А и В, то есть 30 км. Чтобы найти время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S_{начальное}}{v_{сбл}} = \frac{30 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$

3. За это время велосипедист, который выехал из пункта B, проедет некоторое расстояние. Это и будет искомое расстояние от пункта B до места встречи.

$S_{от B} = v_{велосипедиста} \times t = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Способ 2: Составление уравнений движения

1. Примем пункт А за начало отсчета (координата $x=0$). Поскольку движение происходит в одном направлении, пусть это будет положительное направление оси X. Тогда начальная координата мотоциклиста $x_{м0} = 0$, а начальная координата велосипедиста $x_{в0} = 30$ км.

2. Запишем уравнение движения для каждого участника в общем виде $x(t) = x_0 + v \cdot t$.

Уравнение движения для мотоциклиста: $x_м(t) = 0 + 40t = 40t$.

Уравнение движения для велосипедиста: $x_в(t) = 30 + 10t$.

3. В момент встречи их координаты будут равны: $x_м(t) = x_в(t)$. Составим и решим уравнение, чтобы найти время $t$ до встречи:

$40t = 30 + 10t$

$40t - 10t = 30$

$30t = 30$

$t = 1 \text{ час}$

4. Встреча произойдет через 1 час. Чтобы найти, на каком расстоянии от пункта B это случится, нужно вычислить, какой путь проехал за это время велосипедист (так как он стартовал из B):

$S_{от B} = v_{велосипедиста} \times t = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста на расстоянии 10 км от пункта В.