Номер 172, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.8. Решение уравнений и задач - номер 172, страница 48.

Условие.

172 Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 30 км. Из $A$ в направлении $B$ выехал мотоциклист со скоростью 40 км/ч. Одновременно из $B$ в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. На каком расстоянии от пункта $B$ мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: через относительную скорость или через составление уравнений движения.

Способ 1: Использование скорости сближения

1. Поскольку мотоциклист и велосипедист движутся в одном направлении, мотоциклист будет догонять велосипедиста. Скорость их сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста} = 40 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Начальное расстояние между ними равно расстоянию между пунктами А и В, то есть 30 км. Чтобы найти время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S_{начальное}}{v_{сбл}} = \frac{30 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$

3. За это время велосипедист, который выехал из пункта B, проедет некоторое расстояние. Это и будет искомое расстояние от пункта B до места встречи.

$S_{от B} = v_{велосипедиста} \times t = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Способ 2: Составление уравнений движения

1. Примем пункт А за начало отсчета (координата $x=0$). Поскольку движение происходит в одном направлении, пусть это будет положительное направление оси X. Тогда начальная координата мотоциклиста $x_{м0} = 0$, а начальная координата велосипедиста $x_{в0} = 30$ км.

2. Запишем уравнение движения для каждого участника в общем виде $x(t) = x_0 + v \cdot t$.

Уравнение движения для мотоциклиста: $x_м(t) = 0 + 40t = 40t$.

Уравнение движения для велосипедиста: $x_в(t) = 30 + 10t$.

3. В момент встречи их координаты будут равны: $x_м(t) = x_в(t)$. Составим и решим уравнение, чтобы найти время $t$ до встречи:

$40t = 30 + 10t$

$40t - 10t = 30$

$30t = 30$

$t = 1 \text{ час}$

4. Встреча произойдет через 1 час. Чтобы найти, на каком расстоянии от пункта B это случится, нужно вычислить, какой путь проехал за это время велосипедист (так как он стартовал из B):

$S_{от B} = v_{велосипедиста} \times t = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста на расстоянии 10 км от пункта В.