Страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

88 а) $ \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x} $;

б) $ \frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2} $;

В) $ \frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q} $.

Г) $ \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2} $.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3} \cdot \frac{y - x}{y + x}$, разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы суммы и разности кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Числитель первой дроби: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Во второй дроби вынесем -1 в числителе, чтобы получить $y - x = -(x - y)$. Знаменатель $y+x$ можно записать как $x+y$.

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-(x - y)}{x + y}$

Теперь сократим общие множители $(x + y)$ в числителе и знаменателе, а также $(x - y)$:

$\frac{\cancel{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{-\cancel{(x - y)}}{\cancel{(x + y)}} = -\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} : \frac{x^3 - x^2z + xz^2}{x^2 - z^2}$. Первым шагом заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2x^3 + 2z^3}{xz - x^2} \cdot \frac{x^2 - z^2}{x^3 - x^2z + xz^2}$

Теперь разложим на множители каждую часть выражения:

В числителе первой дроби вынесем 2 за скобки и применим формулу суммы кубов: $2(x^3 + z^3) = 2(x + z)(x^2 - xz + z^2)$.

В знаменателе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $xz - x^2 = x(z - x) = -x(x - z)$.

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов: $x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$.

В знаменателе второй дроби вынесем $x$ за скобки: $x^3 - x^2z + xz^2 = x(x^2 - xz + z^2)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{2(x + z)(x^2 - xz + z^2)}{-x(x - z)} \cdot \frac{(x - z)(x + z)}{x(x^2 - xz + z^2)}$

Сократим общие множители $(x^2 - xz + z^2)$ и $(x - z)$:

$\frac{2(x + z)\cancel{(x^2 - xz + z^2)}}{-x\cancel{(x - z)}} \cdot \frac{\cancel{(x - z)}(x + z)}{x\cancel{(x^2 - xz + z^2)}} = \frac{2(x + z)(x + z)}{-x \cdot x} = -\frac{2(x + z)^2}{x^2}$

Ответ: $-\frac{2(x + z)^2}{x^2}$

в) Упростим выражение $\frac{p^3 - q^3}{p^4 - q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. Для числителя используем формулу разности кубов, а для знаменателя — формулу разности квадратов дважды.

Числитель: $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

Знаменатель: $p^4 - q^4 = (p^2)^2 - (q^2)^2 = (p^2 - q^2)(p^2 + q^2) = (p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$

Сократим множитель $(p-q)$ в числителе и знаменателе первой дроби:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{(p + q)(p^2 + q^2)} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p - q}$

Теперь сократим множитель $(p^2+q^2)$:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p + q} \cdot \frac{1}{p - q} = \frac{p^2 + pq + q^2}{(p + q)(p - q)}$

Знаменатель можно свернуть по формуле разности квадратов: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Ответ: $\frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 - q^2}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x - 2}$. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^3 + 8}$

Разложим на множители все числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби (разность квадратов): $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Знаменатель первой дроби (квадрат разности): $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Знаменатель второй дроби (сумма кубов): $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Объединим множители в числителе и знаменателе и произведем сокращение:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)^2 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Сокращаем общие множители $(x - 2)^2$ и $(x + 2)$:

$\frac{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 + 4)}{\cancel{(x - 2)^2} \cancel{(x + 2)}(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4}$

Ответ: $\frac{x^2 + 4}{x^2 - 2x + 4}$

89 a) $ \frac{n - n^2}{2 + n} \cdot \frac{1}{2n - n^2} \cdot \frac{n^2 - 4}{n - 1} $

б) $ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{x + y}{x^3 - y^3} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

а) $ \frac{n - n^2}{2 + n} \cdot \frac{1}{2n - n^2} \cdot \frac{n^2 - 4}{n - 1} $

Для упрощения данного выражения разложим числители и знаменатели дробей на множители. Мы будем использовать вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$n - n^2 = n(1 - n) = -n(n - 1)$
$2n - n^2 = n(2 - n) = -n(n - 2)$
$n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)$

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{-n(n - 1)}{n + 2} \cdot \frac{1}{-n(n - 2)} \cdot \frac{(n - 2)(n + 2)}{n - 1} $

Объединим все дроби в одну, перемножив числители и знаменатели, а затем сократим общие множители:

$ \frac{-n(n - 1)(n - 2)(n + 2)}{(n + 2)(-n(n - 2))(n - 1)} = \frac{\cancel{-n}\cancel{(n - 1)}\cancel{(n - 2)}\cancel{(n + 2)}}{(\cancel{n + 2})(\cancel{-n})(\cancel{n - 2})(\cancel{n - 1})} $

После сокращения всех общих множителей в числителе и знаменателе остается 1.

Ответ: $1$

б) $ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{x + y}{x^3 - y^3} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

Первым шагом заменим операцию деления на умножение, перевернув дробь, на которую делим:

$ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{1}{(y - x)^3} $

Далее разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ и формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Также преобразуем выражение в знаменателе последней дроби: $ (y - x)^3 = (-(x - y))^3 = -(x - y)^3 $.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$(y - x)^3 = -(x - y)^3$

Подставляем разложенные выражения:

$ \frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{1}{-(x - y)^3} $

Объединяем все в одну дробь и выполняем сокращение общих множителей:

$ \frac{(x - y)(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x^2 + xy + y^2)(x + y)(-(x - y)^3)} = \frac{(x - y)^2(x + y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x - y)^3} $

Сокращаем общие множители $ (x + y) $, $ (x^2 + xy + y^2) $ и $ (x - y)^2 $. В знаменателе останется $ -(x - y) $.

$ \frac{\cancel{(x - y)^2}\cancel{(x + y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{-\cancel{(x + y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}(x - y)^{\cancel{3}}} = \frac{1}{-(x - y)} $

Упростим полученное выражение, внеся минус в знаменатель:

$ \frac{1}{-(x - y)} = \frac{1}{y - x} $

Ответ: $\frac{1}{y - x}$

90 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите с помощью калькулятора значение выражения:

а) $ \frac{x+y}{xy} $ при $x = 1,25$ и $y = 1,6$; при $x = 0,032$ и $y = 0,04$;

б) $ \frac{2x-y}{5y} $ при $x = 10,24$ и $y = 0,25$; при $x = 5,12$ и $y = 0,5$;

в) $ \frac{x^2+xy}{y^2} $ при $x = 0,9$ и $y = 7,5$; при $x = 10,8$ и $y = 0,45$.

Указание. а) Чтобы выполнять вычисления непрерывной цепочкой, преобразуем выражение $ \frac{x+y}{xy} $ следующим образом:

$ \frac{x+y}{xy} = \frac{x+y}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{x+y}{x} : y. $

а) Для упрощения вычислений преобразуем выражение $\frac{x+y}{xy}$, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$.
Теперь подставим значения:
При $x = 1,25$ и $y = 1,6$:
$\frac{1}{1,6} + \frac{1}{1,25} = 0,625 + 0,8 = 1,425$.
При $x = 0,032$ и $y = 0,04$:
$\frac{1}{0,04} + \frac{1}{0,032} = 25 + 31,25 = 56,25$.
Ответ: $1,425$; $56,25$.

б) Преобразуем выражение $\frac{2x-y}{5y}$, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{2x-y}{5y} = \frac{2x}{5y} - \frac{y}{5y} = \frac{2}{5} \cdot \frac{x}{y} - \frac{1}{5} = 0,4 \cdot \frac{x}{y} - 0,2$.
Теперь подставим значения:
При $x = 10,24$ и $y = 0,25$:
$0,4 \cdot \frac{10,24}{0,25} - 0,2 = 0,4 \cdot 40,96 - 0,2 = 16,384 - 0,2 = 16,184$.
При $x = 5,12$ и $y = 0,5$:
$0,4 \cdot \frac{5,12}{0,5} - 0,2 = 0,4 \cdot 10,24 - 0,2 = 4,096 - 0,2 = 3,896$.
Ответ: $16,184$; $3,896$.

в) Преобразуем выражение $\frac{x^2+xy}{y^2}$, вынеся общий множитель в числителе и затем упростив:
$\frac{x^2+xy}{y^2} = \frac{x(x+y)}{y^2} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} \cdot (\frac{x}{y} + \frac{y}{y}) = \frac{x}{y} \cdot (\frac{x}{y} + 1)$.
Теперь подставим значения:
При $x = 0,9$ и $y = 7,5$:
Отношение $\frac{x}{y} = \frac{0,9}{7,5} = 0,12$.
$0,12 \cdot (0,12 + 1) = 0,12 \cdot 1,12 = 0,1344$.
При $x = 10,8$ и $y = 0,45$:
Отношение $\frac{x}{y} = \frac{10,8}{0,45} = 24$.
$24 \cdot (24 + 1) = 24 \cdot 25 = 600$.
Ответ: $0,1344$; $600$.