Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

73 Выполните умножение:

а) $\frac{a}{5} \cdot \frac{b}{2}$;

б) $\frac{m}{3} \cdot \frac{m}{3}$;

в) $\frac{2a^2}{x} \cdot \frac{a^2}{x}$;

г) $\frac{1}{a-1} \cdot \frac{2}{a-1}$.

а) Чтобы умножить одну дробь на другую, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно. Числитель первой дроби — $a$, второй — $b$. Знаменатель первой дроби — $5$, второй — $2$.
Выполняем умножение числителей: $a \cdot b = ab$.
Выполняем умножение знаменателей: $5 \cdot 2 = 10$.
Записываем результат в виде дроби: $\frac{a}{5} \cdot \frac{b}{2} = \frac{a \cdot b}{5 \cdot 2} = \frac{ab}{10}$.
Ответ: $\frac{ab}{10}$.

б) Умножаем числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.
Произведение числителей: $m \cdot m = m^2$.
Произведение знаменателей: $3 \cdot 3 = 9$.
Таким образом, получаем: $\frac{m}{3} \cdot \frac{m}{3} = \frac{m \cdot m}{3 \cdot 3} = \frac{m^2}{9}$.
Ответ: $\frac{m^2}{9}$.

в) Выполняем умножение по правилу умножения дробей: числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель.
Умножение числителей: $2a^2 \cdot a^2 = 2 \cdot a^{2+2} = 2a^4$ (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются).
Умножение знаменателей: $x \cdot x = x^2$.
Следовательно, итоговое выражение: $\frac{2a^2}{x} \cdot \frac{a^2}{x} = \frac{2a^2 \cdot a^2}{x \cdot x} = \frac{2a^4}{x^2}$.
Ответ: $\frac{2a^4}{x^2}$.

г) Умножаем дроби, перемножая их числители и знаменатели.
Произведение числителей: $1 \cdot 2 = 2$.
Произведение знаменателей: $(a-1) \cdot (a-1) = (a-1)^2$.
В результате получаем: $\frac{1}{a-1} \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{1 \cdot 2}{(a-1) \cdot (a-1)} = \frac{2}{(a-1)^2}$.
Ответ: $\frac{2}{(a-1)^2}$.

74 Выполните деление:

а) $ \frac{1}{a} : \frac{1}{d} $;

б) $ \frac{n}{m^2} : \frac{m}{n} $;

в) $ \frac{n+3}{2} : \frac{1}{n+3} $;

г) $ \frac{1}{b+5} : \frac{b-5}{b} $.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Заменяем деление на умножение на обратную дробь, то есть $ \frac{1}{d} $ заменяем на $ \frac{d}{1} $:

$ \frac{1}{a} : \frac{1}{d} = \frac{1}{a} \cdot \frac{d}{1} = \frac{1 \cdot d}{a \cdot 1} = \frac{d}{a} $

Ответ: $ \frac{d}{a} $

б) Деление дробей выполняется путем умножения делимого на дробь, обратную делителю. Обратной дробью для $ \frac{m}{n} $ является $ \frac{n}{m} $.

$ \frac{n}{m^2} : \frac{m}{n} = \frac{n}{m^2} \cdot \frac{n}{m} = \frac{n \cdot n}{m^2 \cdot m} = \frac{n^2}{m^3} $

Ответ: $ \frac{n^2}{m^3} $

в) Для выполнения деления, умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная дробь для $ \frac{1}{n+3} $ это $ \frac{n+3}{1} $.

$ \frac{n+3}{2} : \frac{1}{n+3} = \frac{n+3}{2} \cdot \frac{n+3}{1} = \frac{(n+3)(n+3)}{2 \cdot 1} = \frac{(n+3)^2}{2} $

Ответ: $ \frac{(n+3)^2}{2} $

г) Заменяем деление на умножение на обратную дробь. Обратной для дроби $ \frac{b-5}{b} $ является дробь $ \frac{b}{b-5} $.

$ \frac{1}{b+5} : \frac{b-5}{b} = \frac{1}{b+5} \cdot \frac{b}{b-5} = \frac{1 \cdot b}{(b+5)(b-5)} $

Знаменатель $ (b+5)(b-5) $ можно упростить, используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $:

$ \frac{b}{(b+5)(b-5)} = \frac{b}{b^2 - 25} $

Ответ: $ \frac{b}{b^2 - 25} $

75 Выполните действия:

а) $\frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a}$;

б) $\frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y}$;

В) $\frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz}$;

Г) $\frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2}$;

Д) $\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2}$;

е) $\frac{3mn}{2pq^2} : \frac{6m^2}{pq}$.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно, а затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a} = \frac{a \cdot c^3}{bc \cdot 3a}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $a$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Также сокращаем $c$ в знаменателе и одну степень $c$ в числителе (остается $c^2$).

$\frac{\cancel{a} \cdot c^2 \cdot \cancel{c}}{b\cancel{c} \cdot 3\cancel{a}} = \frac{c^2}{3b}$

Ответ: $\frac{c^2}{3b}$

б) Деление одной дроби на другую эквивалентно умножению первой дроби на дробь, обратную (перевернутую) ко второй.

$\frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y} = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{2y}{x} = \frac{x^2 \cdot 2y}{y \cdot x}$

Сократим общие множители. Множитель $y$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $x$ в знаменателе сокращается с одной степенью $x$ в числителе (остается $x$).

$\frac{x \cdot \cancel{x} \cdot 2\cancel{y}}{\cancel{y} \cdot \cancel{x}} = 2x$

Ответ: $2x$

в) Выполняем умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели.

$\frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz} = \frac{x \cdot y}{yz \cdot xz} = \frac{xy}{xyz^2}$

Сокращаем общие множители $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x}\cancel{y}z^2} = \frac{1}{z^2}$

Ответ: $\frac{1}{z^2}$

г) Заменяем операцию деления на умножение на обратную дробь.

$\frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2} = \frac{a^4}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^4 b^2}{b^3 a^3}$

Для сокращения дроби воспользуемся свойством степеней $\frac{k^m}{k^n} = k^{m-n}$.

Для переменной $a$: $\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$.

Для переменной $b$: $\frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1} = \frac{1}{b}$.

В результате получаем: $a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$

д) Выполняем умножение дробей.

$\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2} = \frac{a^4b^2 \cdot 10x^3}{5xy \cdot a^2b^2}$

Сгруппируем и сократим множители по отдельности:
- Числовые коэффициенты: $\frac{10}{5} = 2$.
- Переменная $a$: $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$.
- Переменная $b$: $\frac{b^2}{b^2} = 1$.
- Переменная $x$: $\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2$.
- Переменная $y$ остается в знаменателе.

Объединяем полученные результаты: $\frac{2a^2x^2}{y}$.

Ответ: $\frac{2a^2x^2}{y}$

е) Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{3mn}{2pq^2} : \frac{6m^2}{pq} = \frac{3mn}{2pq^2} \cdot \frac{pq}{6m^2} = \frac{3mnpq}{12m^2pq^2}$

Сгруппируем и сократим множители:
- Числовые коэффициенты: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
- Переменная $m$: $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m}$.
- Переменная $n$ остается в числителе.
- Переменная $p$: $\frac{p}{p} = 1$.
- Переменная $q$: $\frac{q}{q^2} = \frac{1}{q}$.

Собираем все в одну дробь: $\frac{1 \cdot n}{4 \cdot m \cdot q} = \frac{n}{4mq}$.

Ответ: $\frac{n}{4mq}$